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La legge dei grandi numeri dice che, al crescere delle prove, il verificarsi di un evento tende ad uguagliare la sua probabilità.
In pratica significa che, se su dieci lanci della moneta è uscito dieci volte testa, è probabile che nei successivi dieci lanci esca dieci volte croce, in modo da riequilibrare la statistica con la probabilità. Attenzione però: la cosa è probabile, non certa, per cui può uscire ancora dieci volte testa! E' anche però molto improbabile che testa esca 1.000.000 di volte di seguito (non impossibile!). E' su questa base che al lotto viene giocato il numero ritardatario: prima o poi, sulla base della legge dei grandi numeri, tutti i numeri devono uscire, perché all'inizio essi hanno tutti la stessa probabilità(*), e quindi alla fine tutti devono essere usciti lo stesso numero di volte.
Naturalmente, poiché non c'è una fine prestabilita per il numero dei lanci della moneta nè per le estrazioni del lotto, la legge dei grandi numeri è solo teorica: infatti il prossimo lancio o la prossima estrazione rompono l'equilibrio già raggiunto oppure lo fanno raggiungere; ma c'è ancora un lancio o una estrazione .....
Se rappresentiamo in un diagramma la legge dei grandi numeri, otteniamo una curva che ha come asintoto orizzontale la retta che rappresenta la probabilità iniziale degli eventi, mentre il suo andamento rappresenta i valori statistici degli eventi passati.
La legge dei grandi numeri è però solo una legge statistica, per cui è vero anche il contrario: niente vieta che il numero 45 al lotto non esca mai!. Ciò deriva da una considerazione molto banale: i numeri non si conoscono fra loro e non hanno memoria, per cui al numero 45(**) non importa assolutamente nulla di quel che è accaduto agli altri (supponendo che egli sappia di esistere!).
La statistica ci dice che i numeri al lotto finora sono tutti usciti, chi più chi meno, ma nessuno è assente. Domanda:
(*) Il lotto, come la tombola, è un gioco nel quale la probabilità per un singolo numero è variabile: per il primo numero la probabilità è di 1 su 90; per il secondo è 1 su 89; per il terzo è 1 su 88; per il quarto è 1 su 87; per il quinto è 1 su 86. Se si potesse puntare fra l'estrazione di un numero e l'altro, bisognerebbe tener conto di questa variazione di probabilità.
(**) Le cose si complicano molto se, invece dell'estrazione di un numero al lotto, si considerano le coppie (ambi) o le terne ecc. di numeri. Infatti gli eventi possibili si moltiplicano enormemente. Gli eventi possibili al lotto si calcolano con il cosiddetto binomio di Newton che si scrive in questo modo:
il cui valore è dato dall'operazione:
nella quale il punto esclamativo si legge "fattoriale" e ha il significato di "moltiplica fra loro tutti i numeri interi compresi (per esempio) fra k e 1". Se k = 5, risulta k! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Nel caso della cinquina fra 90 numeri si ha:
che è un numero enorme di possibilità. Così enorme che il lotto paga la cinquina 1.000.000 di volte la cifra giocata, anche se si tratta di un gioco iniquo.
Il gioco del lotto è iniquo, cioè non equo, in quanto paga molto meno rispetto alle probabilità di uscita di una certa combinazione di numeri. Per essere equo il lotto dovrebbe pagare la cinquina esattamente come le probabilità di vincere e cioè 43.949.268 volte la posta giocata. Più equa è di certo la roulette che paga 36 volte il numero uscito mentre i numeri possibili sono 37. Nelle altre combinazioni di gioco la roulette paga esattamente quante sono le probabilità.