PROGETTO DI UN VOLANO
(IN ELABORAZIONE)
Occorrono le conoscenze del capitolo di Meccanica.

PRIMA PARTE          SECONDA PARTE          TERZA PARTE

Per azionare un martello pneumatico lungo una strada asfaltata si utilizza un compressore azionato da un motore Diesel. Il compressore eroga aria a 9 atmosfere con portata di 120 kg_m / h. La massa battente è di 6 kg_m e il ritmo 20 colpi al minuto.
Determinare la massa, la forma e le dimensioni del volano adatto al lavoro descritto.

INTRODUZIONE.
A) COMPITO

Il compito del volano è quello di accumulare energia cinetica nelle fasi di eccesso di produzione e di cederla nelle fasi di carenza. E' quindi un regolatore della velocità e della potenza della macchina alla quale è applicato.
Ne segue che tutte le macchine che hanno un regime di velocità variabile hanno necessità del volano. Il cambiare la velocità significa però anche cambiare la potenza, secondo la relazione
N = L / t = F S / t = F v
nella quale N è la potenza, L il lavoro, t il tempo, S lo spostamento e v la velocità. Nelle macchine con moto alternativo (motori a vapore, motori a combustione interna, compressori, ecc.) è congenito⁽¹⁾ il cambiamento di velocità, nelle macchine rotative di potenza (turbine per la produzione di energia elettrica, motori elettrici, ecc.) è congenita la variazione di potenza⁽²⁾. Da ciò deriva la necessità del volano in una grandissima varietà di macchine, sia motrici che operatrici.
Il compito viene svolto in un modo assolutamente semplice: una massa più o meno "grande" collegata solidalmente all'albero motore.


B) ENERGIA E MOTO ROTATORIO

L'energia cinetica nel moto rotatorio assume l'espressione
E_c = J w² / 2
nella quale J è il momento di inerzia e w la velocità angolare. Cambiando la velocità (angolare o no) cambia l'energia cinetica in modo non lineare, cioè basta una piccola veriazione di velocità per ottenere una grande variazione di energia cinetica (w è al quadrato). Ma è vera anche la relazione inversa: basta una piccola variazione di energia cinetica per ottenere una variazione significativa della velocità (l'energia cinetica è dentro una radice quadrata). Poiché l'albero motore è, per nostra comodità, sempre dotato di moto rotatorio, lo studio del volano si esegue tenendo presenti le "regole" di tale moto.


C) ACCUMULO E REGOLAZIONE

Per chiarire questi due aspetti del modo di intervento del volano, riferiamoci al modo di funzionare di un motore ciclo Otto, limitandoci a due sole fasi:
1) fase di espansione: il pistone è sotto l'azione della pressione esercitata dai gas combusti ad alta temperatura e tende a muoversi ad alta velocità e grande accelerazione⁽³⁾, ma deve trascinare il volano, cioè una grande massa, che si oppone per inerzia⁽⁴⁾ a cambiare la propria velocità. La conseguenza è che il pistone rallenta e il volano accelera, il primo perde una parte della sua energia cinetica, il secondo la acquista.
2) fase di compressione: il pistone deve ridurre di, per esempio, dieci volte⁽⁵⁾ il volume del gas chiuso nel cilindro e tende a rallentare il suo moto essendo contrastato dalla pressione crescente dello stesso gas (il quale per di più si è anche riscaldato). Ma il pistone, attraverso il sistema albero - manovella - biella è collegato al volano, il quale, per inerzia, si oppone alla riduzione di velocità, tentando di mantenerla costante. La conseguenza è che il pistone può proseguire nel suo moto mentre il volano rallenta, rendendo al pistone l'energia che gli aveva sottratto nella fase di espansione.


D) EQUILIBRIO E INERZIA

Una massa m in quiete rispetto ad un dato sistema di riferimento⁽⁶⁾ è per definizione in equilibrio: questa condizione si esprime dicendo che la somma delle forze applicate è zero, cioè
R = SF_i = m Sa_i = 0
dove R è la somma⁽⁷⁾ vettoriale delle forze F_i ciascuna delle quali indurrebbe, se fosse sola, una accelerazione a_i. Infatti applicare una forza significa mutare lo stato di equilibrio iniziale, ma ciò comporta la nascita di una accelerazione a secondo la relazione
F = m a = m Dv / Dt = m (v₁ - 0) / (t₂ - t₁) = m v₁ / (t₂ - t₁)
Di conseguenza la massa deve acquistare l'energia cinetica
E_c = m v² / 2
se il moto acquistato è rettilineo. La forza d'inerzia I⁽⁸⁾ è quella "cosa" che si oppone a tale cambiamento di stato, "tentando" di mantenere l'equilibrio preesistente secondo la relazione
I_i = - m a_i
E' facile allora concludere che
R = SF_i - SI_i = 0
rappresenta la condizione di equilibrio generalizzata.


E) IL MOTO

Naturalmente se fosse sempre e comunque R = 0 non ci sarebbe movimento. Tornando più su mettiamo attenzione alla parola "tentando": l'essenza della forza di inerzia è appunto dare conto del fatto che il movimento delle masse non avviene gratis ma solo dopo aver superato l'inerzia stessa. Un esempio per chiarire: a tutti è capitato di spingere un'automobile: se si dà una spinta forte e improvvisa l'automobile non si muove⁽⁹⁾, se invece si spinge "lentamente" l'automobile inizia a muoversi e continuando a spingere il mezzo acquista velocità. Nel primo caso si applica una forza che produce una grande accelerazione e quindi una grande forza di inerzia, nel secondo si produce una piccola accelerazione e quindi una piccola forza di inerzia.
La forza di inerzia è la reazione "interna alla massa" ad una forza esterna e di conseguenza non può che essere uguale ad essa⁽¹⁰⁾. Il moto però deriva dalla forza esterna e la forza di inerzia non può far altro che, come si è detto e ripetuto, "tentare" di mantenere⁽¹¹⁾ lo stato di quiete, costringendoci ad usare forze molto grandi se si vuole cambiare lo stato rapidamente. Un altro esempio banale: una brusca frenata in macchina può farci volare attraverso il parabrezza in quanto la forza di inerzia tenderà a farci proseguire il movimento precedente alla frenata; di una frenata graduale e "dolce" quasi non ci accorgiamo perché essa produce una piccola decelerazione e di conseguenza una piccola forza di inerzia.


F) INERZIA E PESO

Immaginiamo che nello schienale del sedile dell'automobile ci siano delle molle tarate sul nostro peso: quando ci sediamo esse si deformano in un certo modo per "reggerci" secondo i nostri desideri. Se ora partiamo in quarta con una grande accelerazione veniamo schiacciati contro il sedile (la forza d'inerzia "tende" a farci rimanere fermi come prima) e le molle si deformano di più, come se il nostro peso fosse aumentato. In pratica l'automobile ci spinge in avanti con una forza m a (m è la nostra massa) e l'inerzia ci spinge indietro con una forza - m a che si aggiunge alla forza peso m g (g è l'accelerazione di gravità).
Tutto si svolge come se davvero pesassimo di più, compreso il sangue. Ma il cuore è tarato per funzionare con un certo peso di sangue: se tale peso aumenta il cuore non ce la fa più a spingerlo, per esempio nel cervello, e la conseguenza può essere che si perde conoscenza⁽¹²⁾.


G) INERZIA E VOLANO

Il volano con la sua massa e la sua forma ha il compito di opporsi ai bruschi cambiamenti di velocità delle masse alle quali è applicato, ma non rimanendo fermo, bensì cambiando la propria velocità e quindi, come si è già detto, incamerando o cedendo energia cinetica E_c = J w² / 2.
La funzione del volano dipende dal numero J, cioè dal momento di inerzia che è funzione della sua massa e della sua forma.
Come si esprime la forza di inerzia nel moto rotatorio? Basta trovare l'espressione dell'accelerazione e nel moto rotatorio: partendo dalla definizione di accelerazione si trova in successione⁽¹³⁾:
a = (v₂ - v₁) / (t₂ - t₁) = r (w₂ - w₁) / (t₂ - t₁) = r e
dove r è il raggio di rotazione. Ricordiamo ora che per far avvenire un moto rotatorio occorre un momento, cioè una forza con un braccio, cioè una forza che passa ad una distanza r dal baricentro della massa. Se scriviamo
F = m a = m r e
e moltiplichiamo ambo i membri per r otteniamo
F r = M = m r² e = J e = - M_I
nella quale⁽¹⁴⁾ appunto J = m r² e M_I è il momento della forza di inerzia. Diremo quindi che la causa della rotazione è M e la forza di inerzia "risponde" con il momento - M_I per "tentare" di arrestarla. Il calcolo del volano in conclusione richiede il calcolo di J, stabilendone la massa e la forma (dalla quale dipende r).


H) IL MOMENTO DI INERZIA

Si chiama momento di inerzia di massa⁽¹⁵⁾ la quantità
J = m r²
Per chiarire il significato fisico di tale grandezza immaginiamo di legare un sasso con una funicella e poi di farlo ruotare tenendo ben stretta la funicella ad una certa distanza dal sasso. Ci accorgeremo facilmente che la forza necessaria a far ruotare il sasso è tanto maggiore quanto maggiore è la distanza del sasso dalla mano. Ogni anno io mi diverto, introducendo questo argomento, chiedendo ai miei alunni perché le ruote delle biciclette dei bambini sono grandi mentre quelle degli adulti sono piccole, perché le ruote delle cinquecento sono grandi e quelle delle Mercedes sono piccole⁽¹⁶⁾. Invariabilmente fra gli alunni c'è un momento di smarrimento, dovuto all'autorevolezza della fonte di tali affermazioni. Subito dopo c'è sempe uno più coraggioso che contesta dicendo che ho affermato il falso e da qui nasce la discussione che ha lo scopo di chiarire perché in realtà le cose sono all'opposto dell'enunciato precedente.
E tuttavia mi resta sempre un dubbio sull'effettiva comprensione del significato del momento di inerzia. Concludo dicendo che il momento di inerzia è un "numero"⁽¹⁷⁾ che misura "la facilità o la difficoltà" di mettere in rotazione una massa.
La nascita algebrica di J = m r² è quella illustrata al paragrafo precedente ma ben più importante è assorbirne il significato fisico, che è appunto misurare "la facilità o la difficoltà" di mettere in rotazione una massa.
Il momento J ha però almeno due modi di agire: la rotazione può infatti avvenire intorno ad un asse (vedi il caso del momento flettente oppure il moto della Terra sull'asse nord - sud) oppure intorno ad un punto (vedi il caso del momento torcente oppure il moto della Terra intorno al Sole). In altra sede mostro come si calcola J in alcune situazioni.
In tutti i casi si immagina la massa concentrata nel suo baricentro (punto o linea o superficie) e la distanza r è quella fra il baricentro e l'asse o il centro di rotazione, che possono essere interni o esterni alla massa.


I) REGOLAZIONE DELLA VELOCITA'

Chiamiamo w_m la velocità angolare che vogliamo tenere costante e w₁ e w₂ la minima e la massima velocità angolare che la macchina deve avere. Si chiama grado di irregolarità d il rapporto
d = (w₂ - w₁) / w_m
Questa quantità dipende dal servizio alla quale la macchina è destinata. Per esempio i generatori elettrici accoppiati alle turbine devono avere una irregolarità piccola, perché dalla loro velocità di rotazione dipende la frequenza della corrente generata, frequenza che non deve cambiare altrimenti la tensione varia tanto da "guastare" le macchine utilizzatrici. Invece nei motori a combustione interna l'irregolarità deve essere grande altrimenti non si potrebbe cambiare velocità.
Si chiama grado di insensibilità z⁽¹⁸⁾ la quantità
z = (w_2' - w_1') / w
nella quale w_2' - w_1' è la minima variazione di velocità che fa intervenire il volano⁽¹⁹⁾. I valori di d e di z sono tabellati nei manuali e discendono dalle esperienze legate a macchine costruite nel passato.


L) FORME E FUNZIONI

Il volano ha sempre forma circolare a disco oppure a corona con mozzo, razze e corona. La forma circolare è ovviamente condizionata dal moto dell'albero motore che è appunto rotatorio. La conformazione a disco o a corona è condizionata dallo spazio disponibile sulla macchina, dalla potenza, dalla velocità e dalle funzioni secondarie eventualmente affidate al volano.
Nelle automobili ad esempio il volano è a disco pieno, e quindi relativamente molto pesante, e sulla periferia porta le dentatura che ingrana con il motorino di avviamento per la messa in moto. Nei treni a vapore il volano era una vera grande ruota piena poiché il regime di rotazione del motore, derivante dal moto alternativo di grossi pistoni, era a grande variabilità. In altre macchine il volano è a corona di grande raggio e magari porta la gola dove si avvolge la puleggia che trascina le macchine operatrici.
Ricordando l'espressione del momento di inerzia è immediato riconoscere che il volano si può fare in due modi distinti: 1) grande massa e piccolo raggio; 2) piccola massa e grande raggio. Il secondo modo appare più conveniente in quanto il raggio compare con esponente due e quindi sue piccole variazioni comportano grandi variazioni di J.


M) UNITA' DI MISURA

Adoperando il sistema pratico e il diametro D anziché il raggio, il momento di inerzia e l'unità di misura diventano
J = m r² = P D² / 4 g          [J] = [kg_p m² / m / s²] = [kg_p m s²]
Usando invece il sistema internazionale avremo
J = m r² = m D² / 4          [J] = [kg_m m²]
Per non complicare le espressioni adopererò il sistema internazionale. Per l'accelerazione angolare avremo
[e] = [rad / s²]
e per il momento delle forze
[M] = [F S] = [N m] = [J]


N) LAVORO ED ENERGIA CINETICA

Se esaminiamo le unità di misura dell'energia cinetica e del lavoro ci accorgiamo che sono le stesse:
[L] = [F S] = [m a S] = [kg_m m m / s²] = [kg_m m² / s²] = [J]
[E_c] = [m v²] = [kg_m m² / s²] = [J]
Allora possiamo dire che il compito del volano è quello di far sì che la produzione o l'assorbimento di lavoro resti costante, cioè potremo riferire al lavoro quanto si è detto in rapporto all'energia cinetica.


O) MOMENTO MOTORE E RESISTENTE

Nel caso del moto rotatorio la causa del lavoro si chiama momento M: se stiamo guardando dalla parte del motore lo chiameremo momento motore M_m, se lo stiamo gurdando dalla parte dell'utilizzatore lo chiameremo momento resistente M_r. Affinché il moto sia regolare deve essere istante per istante
M_m = M_r
Infatti se la resistenza aumenta il motore tende a fermarsi (automobile in salita), se la resistenza diminuisce il motore tende ad accelerare (auto in discesa). Potremo allora dire che il volano ha il compito di far sì che il momento motore sia sempre adeguato al momento resistente (e viceversa!).
Nella tecnica in vario modo si conosce il momento motore e quindi si studia quale momento resistente si può applicare, oppure si conosce quello resistente e si studia quale motore si deve costruire per sopportarlo.


P) UNA CURIOSA APPLICAZIONE

Poiché il volano è un "accumulatore" di energia è stato utilizzato, non ricordo dove nè con quale successo, al posto di un motore tradizionale, proprio come in alcuni giocattoli meccanici.
Il principio di funzionamento è semplice: immaginiamo, a bordo di un autobus, di disporre un volano di 4.000 kg, con un diametro di due metri, che va a 4.000 giri al minuto: quanta energia possiede?
E_c = J w² / 2       J = m r² / 2 = m D² / 8 = 4.000 x 2² / 8 = 2.000 [kg m²]       w = 2 p n / 60 = 2 x p x 4.000 / 60 = 418 [rad / s]
E_c = 2.000 x 418² / 2 = 174.470.000 [J]
Per avere un termine di confronto, calcoliamo quanta energia utilizza una automobile di 100 kW che viaggia per un'ora:
E = N t = 100 x 1.000 x 3.600 = 360.000.000 [J]
Come si vede, aumentando il diametro o la massa del volano⁽²⁰⁾, è possibile far viaggiare un mezzo senza motore a bordo. Naturalmente ci sono numerosi problemi: eccone due⁽²¹⁾
1) la ricarica: periodicamente il mezzo deve fermarsi in un luogo dove, usando un motore tradizionale, elettrico o no, il volano viene ricaricato di energia, cioè viene riportato alla velocità prevista;
2) l'inquinamento: nel luogo di servizio il motore-volano non inquina, e quindi potrebbe essere utilizzato nei centri urbani, ma trasferisce l'inquinamento in un altro luogo, dove c'è il motore di ricarica o la centrale elettrica.



(1) Quando il moto è alternativo (per esempio nei motori a ciclo Otto) per forza di cose il pistone deve avere velocità variabile. L'inversione del moto non può avvenire che passando attraverso una fase di arresto, per quanto breve essa sia: l'istantaneo cambiamento di verso infatti porta ad una accelerazione infinita.
(2) Le turbine delle centrali termoelettriche, per esempio, devono adeguare la potenza prodotta alla potenza richiesta dalla rete elettrica alla quale sono accoppiate. Poiché la potenza elettrica è variabile in funzione delle necessità degli utenti, anche la turbina deve cambiare regime di rotazione.
(3) Attenzione: grande velocità non significa grande accelerazione e viceversa. Facciamo un esempio numerico: cambiando la velocità da 1.000 km / s a 1.100 km / s in 5 secondi si ottiene una accelerazione a = (1.100 - 1.000) / 5 = 20 km / s² che non è poco; cambiando la velocità da 1 m / s a 2 m / s in 0,01 secondi si ottiene una accelerazione a = (2 - 1) / 0,01 = 100 m / s² che è 5 volte di più, in valore relativo.
(4) Ricordiamo che l'inerzia è una forza, tanto maggiore quanto maggiore è l'accelerazione che si vuole ottenere, che si oppone al cambiamento di stato di quiete o di moto delle masse.
(5) In questo esempio il rapporto di compressione è 10, cioè v₁ / v₂ = 10, essendo v₁ il volume dell'intero cilindro e v₂ il volume della camera di combustione.
(6) L'esempio più banale: le montagne sono ferme rispetto alla Terra, ma questa è in moto rispetto al Sole, ecc.
(7) Attenzione: sia le forze che le accelerazioni sono grandezze di tipo vettoriale per cui la loro somma si esegue secondo le norme relative.
(8) Questo simbolo è la "i maiuscola" in carattere corsivo.
(9) Qui non bisogna confondere: è opinione comune che l'automobile resta ferma per colpa dell'attrito e ciò è sbagliato. Infatti finché la macchina è ferma NON c'è attrito: questa forza nasce INSIEME al movimento e quindi si somma alla forza di inerzia non appena inizia il moto (addirittura l'attrito di "primo distacco" è anche il triplo di quello "durante il moto"). Da ciò segue che nei primi istanti l'automobile è davvero "pesante", mentre subito dopo diventa apparentemente "leggera".
(10) E' questo il principio di "azione e reazione": ad ogni azione corrisponde una reazione opposta.
(11) Purtroppo non sono riuscito a trovare una parola o una immagine migliore di questa, così che sembra che quando io tento di fare qualcosa ci sia un'altra persona che agisce all'inverso. Questa personificazione della forza di inerzia non sono riuscito ad eliminarla.
(12) E', questo, uno dei più gravi problemi che devono essere affrontati nel lancio dei veicoli spaziali con equipaggio umano a bordo: per ridurre il tempo del viaggio occorrerebbe avere grandi accelerazioni, sia in fase di partenza che di ritorno. I problemi fisiologici dovuti all'inerzia costringono invece ad adoperare piccole accelerazioni, e quindi piccole variazioni di velocità, che allungano a dismisura i tempi di percorrenza. Il corpo umano può sopportare accelerazioni anche di alcuni g, cioè la moltiplicazione del proprio "peso", per pochissimi secondi e dopo un lungo allenamento di persone particolarmente dotate.
(13) Ricordiamo che la velocità di un punto che si muove di moto rotatorio con velocità angolare w vale v = w r.
(14) Questa espressione è analoga alla classica F = m a nella quale al posto di m c'è J e al posto di a c'è e, cioè: se il moto è rettilineo si scrive F = m a, se il moto è curvilineo si scrive M_I = J e. In questo modo la quantità J assume il significato di "massa rotante" e e quello di accelerazione di rotazione.
(15) Oltre al momento d'inerzia di massa si definisce anche quello di area che si adopera trattando la flessione e la torsione. In pratica si considera l'area A della sezione soggetta a quelle azioni come se fosse una massa di densità 1 e quindi con l'espressione J = A r²: vedi la pagina seguente al punto E).
(16) La risposta ai due perché esposti è facile. Forse meno facile è rispondere a quest'altro: perché le ruote dei trattori sono grandi e grosse e quelle delle auto di formula 1 sono piccole e larghe?
(17) Attenzione: J non è un numero naturale qualunque, ma una grandezza scalare dotata di una unità di misura J = [kg m²].
(17) Il simbolo z si legge zeta.
(18) Anche il volano ha una sua inerzia, il che significa che la sua velocità non cambia se non quando la variazione di regime dell'albero associato ha raggiunto un certo minimo valore. Sarebbe fuori luogo che il volano intervenisse per variazioni di w dell'ordine dello 0,001 %: l'albero motore sarebbe in continua vibrazione per tenersi al passo! Il valore di z può essere variabile all'interno del campo di variazione della velocità, cioè la insensibilità può essere maggiore per certi intervalli di velocità e minore per altri intervalli. Questo fenomeno è abbastanza comune con gli strumenti di misura, quando l'operazione di misura richiede la deformazione di una parte dello strumento. In effetti anche l'albero che porta il volano è soggetto a deformazioni elastiche a causa della torsione che ne produce il movimento. Poiché la torsione varia con la velocità, può variare anche la insensibilità (se si fa l'inverso di z si può parlare di grado di sensibilità e quindi questa nota può diventare più comprensibile).
(19) Naturalmente si possono mettere anche due o più volani in parallelo, eventualmente ad anello anzichè a disco, per avere lo stesso momento di inerzia con masse minori, ecc.
(20) La trasmissione del moto dal volano alle ruote del mezzo è facilmente risolvibile con le ruote di frizione.