SECONDA PARTE
(IN ELABORAZIONE)
Occorrono le conoscenze del capitolo di Meccanica.
PRIMA PARTE SECONDA PARTE TERZA PARTE
Per azionare un martello pneumatico lungo una strada asfaltata si utilizza un compressore dotato di motore Diesel. Il compressore eroga aria a 9 atmosfere con portata di 120 kgm / h. La massa battente è di 6 kgm e il ritmo 20 colpi al minuto.
Determinare la massa, la forma e le dimensioni del volano adatto al lavoro descritto.
CALCOLO.
A) PRIMO METODO
Ricordando il paragrafo O) della pagina precedente, immaginiamo che quello in figura sia il diagramma del momento motore di un cilindro di un motore 4 tempi a carburazione:
(figura elaborata da C. Pidatella - M. Poggi - Meccanica applicata - Zanichelli - 1977)
e sia Mm il momento motore medio(1), cioè quel momento che è in grado di produrre gli stessi effetti rimanendo però costante nel tempo(2). Il compito, più o meno raggiungibile, affidato al volano è quello di far sì che il momento motore sia costante e uguale proprio a Mm. Ricordando le definizioni di lavoro, momento ed energia cinetica, possiamo scrivere che il motore compie il lavoro:
Lo = Ec = Jo (w22 - w12) / 2
nella quale Jo è il momento di inerzia degli organi dotati di moto rotatorio, escluso il volano, e w1 e w2 sono le velocità minima e massima raggiunte nel ciclo di funzionamento. Se ora colleghiamo un volano di momento di inerzia J la relazione diventa:
L = (Jo + J) (w22 - w12) / 2
e il volano deve appunto "fornire" il lavoro Lv = L - Lo. Se supponiamo che le masse rotanti del motore siano piccole e che quindi il loro momento di inerzia(3) sia trascurabile rispetto a quello del volano, potremo scrivere:
Lv = L = J (w22 - w12) / 2
in pratica affidando al solo volano il compito di uniformare il moto. Ricordando le definizioni di irregolarità d e di valore medio, dalla relazione precedente si ricava in successione:
Lv = J (w22 - w12) / 2 = J (w2 + w1) (w2 - w1) / 2 w2 + w1 = 2 w w2 - w1 = d w
Lv = J 2 w d w / 2 = J d w2 (1)
Il valore di d è tabellato: il Pidatella - Moggi riporta i seguenti valori:
Come si vede dalla tabella, l'irregolarità è, oppure può essere, maggiore per certe macchine, deve essere molto minore per altre macchine (vedi il comando di generatori trifase). Se si leggono solo i denominatori si ricava il "grado di regolarità" e si vede che il movimento dei generatori trifase deve essere molto più regolare di quello delle altre macchine.
Ricavato d dalla tabella l'unica incognita è J e quindi il suo diametro. Svolgeremo queste operazioni dopo aver utilizzato il secondo metodo di calcolo del volano.
B) SECONDO METODO
Nel paragrafo precedente il volano ha il compito di fornire il lavoro Lv = L - Lo. Nel secondo metodo si parte dal rapporto
f = Lv / Lo
cioè si afferma che il volano deve fornire una certa percentuale del lavoro compiuto dalla macchina. Il coefficiente f prende il nome di coefficiente di fluttuazione e si trova tabellato; il Pidatella - Moggi riporta i seguenti valori:
Stabilito il valore di f, ricavato in un modo o nell'altro il valore di Lo si ha il valore di Lv in una relazione nella quale compare J e quindi il diametro del volano.
Svolgiamo ora ordinatamente tutto il calcolo relativo. Sia N in cavalli la potenza del motore, n il numero di giri che si vuole mantenere costante, il lavoro compiuto in un secondo vale
Lo = 75 N 60 / n [kgp m]
e quindi, ricordando la (1) e che w = 2 p n / 60
Lv = f Lo = f 75 N 60 / n = J d w2 = J d (2 p n / 60)2 = J d 4 p2 n2 / 3.600 (A)
Come si è già detto, le forme del volano sono due:
a) disco pieno di diametro D e spessore h;
b) ruota con mozzo, razze e corona con sezione circolare o rettangolare o ellittica.
Le figure(4) seguenti rappresentano le due situazioni.
Nella situazione a): dalla definizione di momento di inerzia ricordando che la massa vale peso fratto g, che il raggio vale D / 2 e che il momento di inerzia vale(5) m r2 / 2 si ha in successione:
J = m r2 /2 = P D2 / 8 g P D2 / 8 g = f 75 x 3.600 N 60 / 4 p2 d n3 P = f 75 g 3.600 N 60 x 8 / d n3 D2 4 p2
che possiamo scrivere in questo modo
P = f B N / d n3 D2
dove B = 75 x g x 3.600 x 8 x 60 / 4 x p2 = 32.237.000
Noto il peso P basta stabilirne il materiale per individuare tutti i parametri geometrici del volano.
Nella situazione b): dalla definizione di momento di inerzia ricordando che la massa vale peso fratto g, che il raggio vale D / 2 e che il momento di inerzia vale J = m rm2 si ha in successione:
J = m rm2 = P Dm2 / 4 g P Dm2 / 4 g = f 75 3.600 N 60 / 4 p2 d n3 P = f 75 g 3.600 N 4 x 60 / d n3 Dm2 4 p2
che possiamo scrivere in questo modo
P = f B N / d n3 Dm2
dove B = 75 x g x 3.600 x 4 x 60 / 4 x p2 = 16.120.000
Noto il peso P basta stabilirne il materiale per individuare tutti i parametri geometrici del volano.
C) DIMENSIONAMENTO DEL VOLANO A CORONA
L'elemento principale che condiziona le dimensioni del volano è la resistenza alla forza centrifuga. Questa forza infatti esercita una azione disgregatrice nei confronti della periferia del volano. Per chiarire la situazione riferiamoci alla figura seguente:
Ciascun elemento della corona, per esempio quello compreso fra due razze come nella figura, è sottoposto all'azione della forza centrifuga Fc dovuta all'accelerazione centripeta ac conseguente alla velocità periferica v. L'azione di Fc si può interpretare in almeno due modi: 1) tende a far aumentare il diametro Dm producendo trazione lungo la corona; 2) tende a strappare porzioni di corona producendo taglio lungo linee radiali. Nella figura è tratteggiata la sezione, per ipotesi circolare, della corona ed è evidenziata la forza centrifuga agente sul tratto fra due razze con l'indicazione delle superfici di taglio.
La forza centrifuga vale
Fc = m v2 / Rm = P '' v2 / g Dm / 2 = 2 P '' v2 / g Dm
nella quale ovviamente P '' è il peso della porzione(6) di corona che si prende in esame. Ne segue che alla fine occorrerà eseguire delle verifiche di resistenza che devono tener conto del materiale utilizzato.
Per costruire i volani si usano essenzialmente due materiali: a) ghisa; b) acciaio. I valori da usare nei calcoli sono:
a) ghisa: g = 7.200 - 7.300 kg / m3; v < 30 m / s; samm = 0,7 - 1,0 kg / mm2.
b) acciaio: g = 7.800 kg / m3; 30< v < 60 - 70 m / s; samm = 2 - 2,5 kg / mm2.
Poiché stiamo progettando il volano da accoppiare al compressore azionato da un motore Diesel 4 tempi 4 cilindri il coefficiente f vale 0,21; il coefficiente B vale 16.120.000; il grado di irregolarità d = 1 / 30 = 0,033 (il martello pneumatico agisce come una punzonatrice); la potenza del motore sia N = 20 CV; il numero di giri del compressore a regime sia n = 250 giri / 1 '; il diametro medio sia in prima ipotesi 1,00 m; per cui il peso del volano diventa:
P = f B N / d n3 Dm2 = 0,21 x 16.120.000 x 20 / 0,033 x 2503 x 1,002 = 131,300 kgp
Assegnando alla corona l'80 % di questo peso, cioè P ' = 0,80 P = 0,80 x 131,300 = 105,050 kgp, costruendo il volano in ghisa, il volume V ' della corona sarà:
V ' = P ' / g = 105,050 / 7.200 = 0,0146 m3
Poichè(7) V ' = (p d2 / 4) (p Dm) = p2 d2 Dm / 4
si ricava;
d = (4 V ' / p2 Dm)1/2 = (4 x 0,0146 / p2 x 1)1/2 = 0,077 m arrotondato 0,080 m = 80 mm
La velocità periferica è
v = 2 p Dm n / 2 x 60 = 2 x p x 1 x 250 / 2 x 60 = 13,08 m / s < 30 m / s
La velocità angolare risulta:
w = 2 p n / 60 = 26,17 rad / s
D) VERIFICA A TRAZIONE DELLA CORONA
Per effetto della forza centrifuga agente su ciascuna porzione di corona, il diametro del volano tende ad aumentare e quindi la corona tende ad allungarsi, come se fosse sottoposta ad una azione di trazione. Per fare la verifica di resistenza immaginiamo di tagliare il volano con un piano diametrale e su ciascuna delle due parti applichiamo la forza centrifuga F 'c agente su mezza corona (vedi figura in basso). Nell'espressione F 'c = m v2 / R = m w2 R, m è la massa di mezza corona, cioè P / 2 g e R = D / p(8) per cui scriveremo:
F 'c = P w2 D / 2 g p = 105,050 x 26,172 x 1 / 2 x g x p = 1.170 kgp
Questa forza agisce su due sezioni circolari opposte della corona di diametro d, sviluppando una tensione
s = F 'c / 2 A = F 'c / 2 p d2 / 4 = 4 F 'c / 2 p d2 = 2 x 1.170 / p x 0,0802 =
= 116.000 kgp / m2 = 0,116 kgp / mm2 < samm = 0,7 - 1,0 kgp / mm2
Concludiamo che la corona è sicura rispetto alla trazione.
E) VERIFICA A TAGLIO
Immaginiamo che ciascun quarto di corona sia incastrato nelle due razze di estremità e sia soggetto in mezzeria alla forza centrifuga(9) (dovuta ad un quarto del peso della corona):
F ''c = m w2 R = P w2 D (2)1/2 / 4 g p = 105,050 x 26,172 x 1 x (2)1/2 / 4 x g x p = 1.000 kgp
Le reazioni nei vincoli sono uguali e valgono VA = VB = F ''c / 2 = 1.000 / 2 = 500 kgp e producono una tensione di taglio
t = F ''c / p d2 / 4 = 4 F ''c / p d2 = 4 x 500 / p 802 = 0,100 kgp / mm2
F) VERIFICA A FLESSIONE DELLA CORONA
Supponiamo che ciascun quarto di corona sia incastrata nelle razze di estremità e che sia diritta. Supponiamo anche che agiscano solo le reazioni VA = VB = 500 kgp che danno in mezzeria il momento flettente Mf = VA la / 8 nella quale la è la lunghezza dell'arco, cioè un quarto di circoferenza: la = p R / 4 = p D / 8 = p x 1 / 8 = 0,393 m
e quindi il momento flettente diventa:
Mf = VA la / 8 = 500 x 0,393 / 8 = 24,56 kgp m = 24.560 kgp mm
La tensione indotta dalla flessione è quindi:
s = Mf y / J = Mf d / 2 p d4 / 64 = 32 Mf / p d3 = 32 x 24.560 / p x 803 = 0,49 kgp / mm2 < samm = 0,7 - 1,0 kgp / mm2
G) DIMENSIONAMENTO DELLE RAZZE E DEL MOZZO
Supponendo che l'asse di rotazione abbia un raggio di 50 mm, che il mozzo abbia il raggio esterno re = 120 mm, poiché il raggio della corona è r = 40 mm, per le razze si ha una lunghezza di:
lr = (Dm / 2) - Re - r = 0,5 - 0,120 - 0,040 = 0, 34 m
Dedicando ad esse il 10 % del peso totale del volano, ciascuna razza pesa:
P ''' = 0,10 P / 8 = 0,10 x 131,300 / 8 = 1,640 kgp
Se le razze avessero sezione circolare il loro diametro sarebbe:
dr = (4 P ''' / pg lr)1/2 = (4 x 1,640 / p x 7.200 x 0,34)1/2 = 0,029 m
Poiché risultano troppo sottili riduciamo il loro numero a 6 per cui ciascuna razza pesa: P ''' = 0,10 P / 6 = 0,10 x 131,300 / 6 = 2,190 kgp e quindi il diametro
dr = (4 P ''' / pg lr)1/2 = (4 x 2,190 / p x 7.200 x 0,34)1/2 = 0,033 m
Poiché risultano ancora troppo sottili riduciamo il loro numero a 4 per cui ciascuna razza pesa: P ''' = 0,10 P / 4 = 0,10 x 131,300 / 4 = 3,280 kgp e quindi il diametro
dr = (4 P ''' / pg lr)1/2 = (4 x 3,280 / p x 7.200 x 0,34)1/2 = 0,040 m
Facciamo la sezione rettangolare con i lati a e b = 1,5 a: il peso ha l'espressione
P ''' = g V = g a b lr = g a 1,5 a lr = g 1,5 a2 lr = 7.200 x 1,5 x a2 x 0,34 = 3,280 kgp
dalla quale si ricava
a = (3,280 / 7.200 x 1,5 x 0,34)1/2 = 0,030 m b = 1,5 a = 1,5 x 0,030 = 0,045 m
Completiamo la sezione delle razze con uno smusso di raggio r = 5mm.
Assegniamo al mozzo un peso PIV = 12 kgp perché il suo contributo al momento di inerzia sia significativo. Poiché è costituito da una corona circolare di raggi ri = 50 mm e re = 120 mm per il suo spessore h si ha in successione:
PIV = g V = g p (re2 - ri2) h = 7.200 x p (0,1202 - 0,0502) h = 12 kgp h = 12 / 7.200 x p (0,1202 - 0,0502) = 0,045 m
Completiamo la sezione del mozzo con uno smusso di raggio r = 5mm.
Riassumendo:
razze altezza 340 mm; sezione 30 x 45 mm; mozzo diametro interno 100 mm; diametro esterno 240 mm; spessore 45 mm
L'innesto delle razze nel mozzo sarà eseguito con raccordi ad arco di cerchio di raggio 5 mm e nella corona con raccordi ad arco di cerchio di raggio 20 mm.
H) VERIFICA A TRAZIONE DELLE RAZZE
Supponiamo che la forza centrifuga F ''c = 1.000 kgp agente su un quarto di corona sia applicata sulla testa della razza: la sua azione è quella di allungarla, cioè la razza è sottoposta all'azione di trazione:
s = F ''c / A = F ''c / a b = 1.000 / 30 x 45 = 0,741 kgp / mm2
0,7 kgp / mm2 < s = 0,741 < 1,0 kgp / mm2
I) VERIFICA FINALE
Ora che abbiamo tutte le caratteristiche fisiche e geometriche del volano possiamo eseguire la verifica finale calcolandone il momento di inerzia. Ricordando che il momento di inerzia (in questo caso momento d'inerzia polare) è una funzione sommabile possiamo scrivere che JV vale la somma dei momenti Jm del mozzo, Jr delle razze e Jc della corona, cioè
JV = mm rm2 + mr rr2 + mc rc2
nella quale rm, rr e rc sono le distanze medie del mozzo, delle razze e della corona dal centro di rotazione (momento d'inerzia polare):
rm = 120 - 50 = 70 mm rr = 120 + 170 = 290 mm rc = 500 mm
Le diverse masse sono:
mm = 12 / g kg mr = 13,130 / g kg mc = 105,050 / g kg
Sostituendo otteniamo:
JV1 = (12 x 0,0702 + 13,130 x 0,2902 + 105,050 x 0,5002) / g = (0,06 + 1,10 + 26,26) / g = 2,80 kg m2
Riprendiamo l'espressione (2) e facciamo il confronto
JV2 = f 75 x 3.600 N 60 / 4 p2 d n3
2,80 = 0,21 x 75 x 3.600 x 20 x 60 / 4 x p2 x 0,033 x 2503 = 3,34
Poiché JV2 è maggiore di JV1, cioè la macchina richiede un momento di inerzia maggiore di quello assicurato dal volano calcolato, portiamo il peso della corona a 115 kg (ciò equivale ad aumentarne il diametro d) e rifacciamo il calcolo:
JV1 = (0,06 + 1,10 + 115 x 0,5002) / g = (0,06 + 1,10 + 28,75) / g = 3,05 kg m2
Per arrivare ad avvicinare ancora il valore di JV2 portiamo il peso della corona a 125,000 kg e rifacciamo il calcolo:
JV1 = (0,06 + 1,10 + 125 x 0,5002) / g = (0,06 + 1,10 + 31,25) / g = 3,30 kg m2
Riteniamo questo risultato abbastanza corretto.
Il diametro della corona con il nuovo peso diventa:
V ' = P ' / g = 125,000 / 7.200 = 0,0174 m3
Ripetendo il calcolo effettuato al punto C) si ricava;
d = (4 V ' / p2 Dm)1/2 = (4 x 0,0174 / p2 x 1)1/2 = 0,084 m arrotondato 0,085 m = 85 mm
La lunghezza delle razze è rimasta praticamente la stessa.
L) CONCLUSIONI
Ricapitoliamo i risultati ottenuti:
diametro medio volano: D = 1,00 m peso P = 150,130 kg velocità periferica: v = 13,08 m / s velocità angolare: w = 26,17 rad / s
diametro corona: d = 85 mm peso: P ' = 125 kg
razze numero: 4 sezione: 30 x 45 mm peso di ciascuna: P ''' = 13,13 kg
mozzo sezione: Di = 100 mm; De = 240 mm; peso P iv = 12 kg
motore potenza: 20 Cv compressore irregolarità: 1 / 30 numero giri: 250 / 1'
Alcuni di questi valori sono cambiati leggermente e occorrerebbe aggiornarli: lascio questo lavoro ai miei lettori.
(1) Il valore di Mm si può individuare in diversi modi:
a) se si dispone della equazione della funzione si procede per via algebrica con l'integrale;
b) se si dispone del diagramma in scala opportuna su carta millimetrata si può lavorare per via grafica "contando i quadratini" positivi e negativi oppure con "integrazione grafica".
(2) Questa situazione è ovviamente non compatibile con le macchine alternative. E' invece normale nelle macchine rotative, come per esempio i motori elettrici.
(3) Questa posizione è del tutto legittima in quanto le macchine, nessuna, può nascere "giusta" dai calcoli: è sempre assolutamente necessaria la fase di collaudo e verifica che comporta l'aggiustamento di tutto ciò che è stato progettato. D'altra parte se non ci fossero i calcoli preliminari non ci sarebbe alcuna base dalla quale partire. Naturalmente per un esperto costruttore i risultati saranno più vicini alla realtà che non quelli di chi li esegue per la prima volta.
(4) Nella figura appaiono 8 razze, ma in generale se ne costruiscono 4 oppure 6.
(5) Vedi alla pagina seguente il punto B)2).
(6) La forza centrifuga TOTALE vale zero perché su porzioni opposte la forza è opposta e quindi la risultante è zero.
(7) Teorema di Guldino: il volume di un solido di rotazione si trova come prodotto dell'area della sezione trasversale per la lunghezza della circonferenza percorsa dalla sezione.
(8) La forza centrifuga va sempre applicata nel baricentro della massa considerata. Il baricentro di mezza corona si trova alla distanza D / p dal centro e quindi la velocità v deve essere calcolata con il raggio D / p.
(9) Baricentro di un quarto di circonferena: x = D (2)1/2 / p, dove x è la distanza dal centro.