MORFOLOGIA DEI CRISTALLI. - Forme semplici e combinazioni; gradi e classi di simmetria. La follia poliedrica dei e. non è casuale, ma con- seguenza della velocità d'accrescimento che nelle sostanze cristallino si manifesta come proprietà anisotropa discontinuo, cioè con valori non uguali in tutte le direzioni ma variabili in modo discon- tinuo. Sia a il vettore rappresentativo della velo- cità d'accrescimento secondo la direzione ON di un germe cristallino e si supponga che tale vet- tore si ripeta in altre direzioni quali per es. ON', ON", ON" '' (fìg. i): se esistono condizioni di equilibrio che consentano la formazione d'una faccia normale ad ON (nella figura BC è la trac- cia di questa faccia) queste stesse condizioni de- vono necessariamente determinare la formazione di facce normali alle direzioni OIP, ON", QN"' che hanno la velocità d'accrescimento uguale ad a; può accadere anche che il vettore a non si rí- peta in altre direzioni: in tal caso lo sviluppo d'una faccia normale a ON non implica necessa- riamente la presenza di facce normali ad altre ben detern-únate direzioni. Le facce necessariamente coesistenti, al pari delle loro direzioni normali, sono fisicamente equivalenti. l'insieme delle facce necessariamente coesistenti e fisicamente equiva- lenti costituiscono ciò che in cristallografìa si chiama forma semplice. Dai due casi considerati si deduce che le direzioni di uguale velocità di ac- crescimento possono essere distribuite nell'indi- viduo cristallino con o senza periodicità rispetto a deternúnati elementi. Per ricavare le forme serri- plici dei c. si sono dovuti anzitutto stabilire gli elementi di periodicità (o di simmetria) compati- bili con lo stato cristallino e le loro possibili com- binazioni. Gli elementi di simmetria possibili e i simboli con cui si rappresentano sono: assi giri, polari A.(,) se alle due estrerrútà la sostanza pre- senta proprietà fisiche diverse, o bipolari A. nel caso contrario, con n = 7,, 3, 4, 6 (rispettivamente asse digiro o binario, trigiro o ternario, tetragiro o quaternario, esagiro o senario); assi giroidi A(.), con n = 6 (esagiroide), n = 4 (tetragiroide), n = a (digiroide, che equivale al centro di simmetria C = A(2"; piano di simmetria P (v. ASSE; PiANo). Con questi elementi si formano 3z diverse cornbi- nazioni che costituiscono i 32 gradi di simmetria possibili nei cristalli (v. tabella), fra i quali è com- preso anche quello che non anunette altro ele- mento che l'identità Al, comune a ogni corpo sinunetrico (o no) e pertanto non riportato nella tabella. Il numero di piani e di assi dello stesso ordine presenti in ogni grado è indicato dal coeffi- ciente che precede il simbolo dell'elemento di simmetria. Assi dello stesso ordine n e piani che non siano fisicamente equivalenti sono indicati separatamente e tenuti distinti da apici segnati alla destra del simbolo. Definiti i gradi di simme- tria, le forme semplici si sono dedotte eseguendo tutte le operazioni indicate in ciascuno di essi per ogni possibile giacitura d'un piano nel modo se- guente: il grado A4(,), per esempio, pone la con- dizione che ci sia una direzione ON coincidente con A4(,) per la quale la velocità d'accrescimento. abbia un valore che non si ripete in nessun'altra direzione, neppure secondo ON", a i 8oo con ON, e che il valore in ogni altra direzione debba ripe- tersi intorno ad A4(,) di goo in goo; facendo allora le tre ipotesi di una faccia normale ad A4(,), di una faccia inclinata rispetto ad A4(,) di un angolo qual- siasi, e di una faccia parallela ad A4(,>, si ricava che per questo grado sono possibili le. forme semplici: pedio, piranúde e prisma a sezione quadrata (fig. 2 a, c, b). L'in@iieme delle forme compatibili per ogni grado di sinunetria costituisce una classe di simmetria. Come risulta dalla tabellai una stessa forma semplice può essere compatibile con più gradi di sinunetria. Dalla definizione stessa di for- ma semplice appare chiaro che la simmetria dei c. viene definita in funzione del ricoprimento fisico delle facce, il quale implica sì il ricoprimento geo- tnetrico, ma non si identifica con esso potendo il grado di sinunetria coincidere o no con quello di singonia (simmetria geometrica). Se si conside- rano i caratteri fisici delle facce di un cristallo, per es. le striature sulle facce di cristalli cubici di fluo- rite, pirite e bienda, si osserva infatti che la sim- metria coincide con la singonia nel primo caso (fig. 4), ma non negli altri due (figg. 5 e 6), e ciò vale a spiegare come una stessa forma semplice possa presentare simmetria diverse. I c. si possono presentare come forma semplice o come combi- nazione di due o più forme semplici; la fìg. 3, per es., rappresenta un e. costituito dalle tre for- me semplici: prisma tetragonale (facce rettango- lari), piranúde tetragonale (facce triangolari), base o pedio (faccia quadrata). Le forme semplici si distinguono in aperte: pedio, prisma, piramide (fig' a a, b, c), pinacoide (fìg. 7), sfenoide (fig. 8), donia (fig. 9), e chiuse. cubo, bipiramidi, ecc. Forme semplici che differiscono fra loro solo per l'orientazione nello spazio si dicono coniugate e si distinguono in congruenti ed enantiomorfe. Ricor- diamo poi che i e. possono formarsi come indi- vidui isolati o in associazioni regolari (gernina- ti) e irregolari (conerezioni, aggregati, ecc.). Per maggiori dettagli v. le singole v@oci.

Cristalli modello e e. sproporzionati; legge della costanza degli angoli diedri; nomenelatura delle for- me semplici. - In condizioni di libertà d'accresci- mento le facce di una forma semplice hanno ugua- le distanza dal centro del e. e quindi uguale con- torno geometrico; in questo caso all'equivalenza fisica corrisponde un'equivalenza dì figura e di dimensioni delle facce e il solido cristallino è det- to cristallo modello. Libertà d'accrescimento si ha quando un e. è a contatto con la massa, liquida o fluida, da cui trae alimento per l'intero periodo di formazione e quando la massa stessa ha concen- trazione omogenea. Queste condizioni si trovano difficilmente realizzate in natura: basta che una faccia sporga dal livello della soluzione o che poggi sul fondo dell'ambiente che la contiene, perché su di essa cessi ogni ulteriore deposito di particelle. A causa di tali turbamenti, indipendenti dalle proprietà del e., le facce di una stessa forma semplice fìniscono per avere contorno e dimen- sioni diverse perché quelle più alimentate, spo- standosi parallelamente a sé stesse, si auontane- ranno dal centro del germe più delle altre che ricevono nùnore apporto di sostanza; i solidi na- turali nei quali facce fisicamente equivalenti non hanno uguale forma e dimensioni sono detti spro- porzionati. Quanto possa risultare diverso l'aspet- to di un cristallo sproporzionato rispetto a quello del corrispondente modello è illustrato dalla fig. io, che rappresenta due cristalli di quarzo. Dato che la sproporzione è conseguenza di un maggiore o rrùnore spostamento parallelo delle facce, gli angoli diedri di un c. sproporzionato sono uguali a quelli del corrispondente cristallo r.nodello: è que- sta la legge della costanza dell'angolo diedro, la pri- ma della cristallografia, formulata da Nicola Ste- none nel i 665. Tenuto conto di questa legge e dei turbamenti di sviluppo, in cristallografìa la no- menciatura delle forme non può adattarsi del tutto ai criteri della geometria. In geometria, in- fatti, una forma semplice è definita dall'equiva-lenza fisica delle facce e dagli angoli che esse formano fra loro. In geome- tria, per es., un cubo è linútato da 6 facce uguali a contorno quadrato ortogonali fra loro; in cristal- lografia è linútato da 6 facce fisicamente equiva- lenti ortogonali fra loro; perciò un cubo di sal- gemma sarà sempre defìnito con questo nome anche se, a causa della sproporzione, si trovi ad assumere la forma di un prisma a base rettango- lare o quadrata.

Rapporti parametrici e legge della razionalità degli indici; sistemi di simmetria. - Per indivi- duare la posizione delle facce, di un e. con- viene riferirle (fig. i i) a un sistema trirettan- golo di assi cartesiani QXYZ, con l'origine 0 in un punto interno al c. e gli assi Z e X orien- tati il primo secondo la verticale ascendente, il secondo verso l'osservatore. Una superficie piana resta allora perfettamente definita nella sua posizione assoluta (inclinazione rispetto agli assi e distanza dal centro) quando si conoscono i parametri, cioè i segmenti QA, OD, OC che essa taglia o verrebbe a tagliare sugli assi coordinati se opportunamente sviluppata; la stessa superfi- cie resta invece individuata soltanto nella giaci- tura (inclinazione rispetto agli assi) se si conosco- no i rapporti parametrici OA: OD: OC. Dato che nei e. ciò che interessa è la giacitura delle facce e non la loro posizione assoluta, le facce stesse ven- gono abitualmente rappresentate mediante i rap- porti parametrici. Il procedimento per il calcolo dei rapporto pararnetrico d'una faccia è semplice: dalla n-ùsura degli angoli diedri del cristallo si ricavano gli angoli L@IOX, poy, POZ, che la nor- male OP alla faccia ABC forma con gli assi coor- dinati; quindi, chiamando A', B', C' le interse- zioni con gli assi di un generico piano parallelo a quello per A, B, C e considerando i triangoli OPA, OPB, OPC, tutti e tre rettangoli in P, si ottengono le proporzioni:

[i] OA : OD -. OC OA' : OD' : QC'

cos POX cos POY cos POZ Gli assi a cui si riferiscono le facce non sono rette qualsiasi ma direzioni parallele a tre spigoli non complanari del e. e coincidenti, ove è possibile, con assi di sinunetria del c. stesso; ed è per ricor- dare tale convenzione che gli assi coordinati sono detti assi cristallwaflci. Si considerino ora i rap- porti parametrici a . b . e, al : b, . ci, .... a. . b. -. e. di tutte le possibili facce dei cristalli di una da- ta sostanza: se a uno qualsiasi di essi, per ès. a . b : c, spettante a una faccia 'F che incontra tutti e tre gli assi si riferisce il rapporto di una qualsiasi delle rimanenti, per es. al : bi . ci spet- tante ad una faccia che potremo chiamare M, si ha che-.

a b C [al -: -. - = h : h . 1 , al bi ci

dove h, k, 1, detti indici della faccia M, sono nu- meri razionali, riducibili sempre a numeri interi di solito semplici, cioè costituiti d'una sola cifra, lo zero compreso. t questa la seconda legge della cristallografia morfologica che va anche sotto il nome di legge della razionalità degli indici o legge degli indici semplici o legge di Haúy. Il rapporto a . b : c che serve di riferimento per tutti gli altri è denonúnato rapporto parametrico fondamentale. Dalla [2] si ricava:

[31 al. - bi , Ci @ a b c .h : -k : -1

per cui il rapporto dei parametri di una faccia si può calcolare senza ricorrere ai coseni direttori della normale, purché siano noti gli indici della faccia e il rapporto parametrico fondamentale. Le costanti d'un cristallo, sono dunque: a = vzl

XZ, XY che definiscono il tipo di croce assiale (per una croce ortogonale a = P = y = 9aP) e il rapporto parametrico fondamentale a : b : c. Vi sono gruppi di classi che sono riferibili a uno stesso tipo di croce e di parametri fondamentali; seguendo questo criterio le 3z classi sono state riunite in 7 sistemi che traggono i loro nomi o dal tipo del, rapporto fondamentale (rnonometri- co = unica misura, perché a - b . e = i -. i - i) o dall'elemento di simmetria comune alle classi del sistema (esagonale, tetragonale, ecc.) o dal tipo di croce assiale (monoclino, trielino). 1 siste- mi si riuniscono in tre gruppi denominati mono- metrico, dimetrico, trimetrico, a seconda, rispet- tivamente che le tre costanti parametriche abbia- no lo stesso valore, o soltanto due di esse siano uguali o, infine, siano diverse l'una dall'altra. La limitazione delle forme semplici imposta dal- la sinunetria trova un'ulteriore restrizione nel- la legge di Haúy: la simmetria stabilisce, per es., che le sostanze del grado A4(,) possono assume- re la forma di piranùdi tetragònali, e la legge di Haúy precisa che di tutti i tipi di piranùdi tetra- gonali sono possibili solo quelli che ubbidisco- no alla legge della razionalità degli indici.

Simboli dellefacce; zone e loro simboli; calcolo cri- stallografico. - La giacitura di una faccia non si esprime col suo rapporto parametrico ma col dop- pio rapporto che nella [31 figura alla destra del segno d'uguaglianza, applicando però la conven- zione di tacere i termini a, b, c perché costanti per tutti i cristalli di una stessa sostanza e di sottin- tendere i segni di rapporto e di frazione; perciò una faccia si esprime col simbolo (h k 1) costituito dai suoi indici trascritti in modo che quello rela- tivo a X si trovi al primo posto nella parentesi, quello spettante a V al secondo posto e infine quello spettante a Z al terzo. Quando uno degli indici è zero vuol dire che la faccia è parallela al corrispondente asse: per es. (ioo) è una faccia che taglia X ed è parallela a V e Z; (h o 1) è una fac- cia parallela a V e inclinata su X e Z di angoli che si possono conoscere solo se siano noti natu- ralmente i valori numerici di h e di 1 e i terrriini del rapporto parametrico fondamentale. Questo sisteraa di scrittura ormai universalmente adotta- to va sotto il nome di notazione milleriana, dal eri- stallografo W. H. Miller che l'applicò per primo. Zona è un insieme di facce parallele a una stessa direzione denon-únata asse di zona. Dato che il rapporto delle coordinate x, y, z dei punti di una retta passante per l'origine degli assi coordi- nati è costante e dato che l'asse di zona passa ap- punto per l'origine degli assi, la direzione di que- sto è data dal rapporto: x : y - z = ua : vb wc, dove a, b, e, come al solito, rappresentano ter- niáni del rapporto parametrico fondamentale e u, v, w, tre numeri interi e semplici detti indici dell'asse di zona. Seguendo una convenzione ana- loga a quella adottata per le facce, gli assi di zona (e quindi le zone) s'indicano con il simbolo for- mato dai suoi indici chiusi fra parentesi quadre [uv w]. 1 simboli [iool, [oio], [ooi] stanno ad indicare gli assi coordinati X, V, Z e quindi il complesso delle facce parallele rispettiv. ad X, V, Z. Infatti [xoo] è il simbolo di una retta passante per un punto di coordinate y. = z = o e x = i.