Disegno tecnico    Proiezione assonometriche    Rappresentazione di oggetti     Quotatura

PROIEZIONI    ASSONOMETRICHE

                         

Le proiezioni assonometriche sono largamente usate nel disegno meccanico a causa della loro semplicità di costruzione e della forza rappresentativa che hanno queste proiezioni.
Le proiezioni assonometriche differiscono dalle proiezioni ortogonali in quanto nell'assonometria un oggetto è proiettato solo su un piano sul quale sono riportate le tre viste.
Nel disegno meccanico le proiezioni assonometriche sono usate come accessorio delle proiezioni ortogonali quando per rappresentare compiutamente un particolare meccanico sia necessario avere un chiaro disegno delle parti che sono difficili da vedere con le proiezioni ortogonali.
La proiezione assonometrica consiste nel proiettare da distanza infinita un oggetto sul piano di rappresentazione, intersecando quindi punti sull'oggetto e piano con un fascio di rette parallele, che possono essere perpendicolari al piano di proiezione (assonometria ortogonale) od oblique (assonometria obliqua).
S dispone nello spazio l'oggetto che si vuole rappresentare in modo che tre suoi spigoli (o riferimenti) disposti secondo una terna di assi cartesiano ortogonali, siano inclinati rispetto al piano di proiezione, e quindi tutti e tre proiettabili contemporaneamente su di esso.
Nel caso delle proiezioni ortogonali i tre spigoli erano ciascun perpendicolare ad un piano di proiezione e parallelo agli altri due ed occorrevano perciò tre piani di proiezione per rappresentarli completamente, come già s'è visto.
Gli angoli di inclinazione sono scelti con valori tali da proiettare tre segmenti di ugual lunghezza presi secondo i tre assi cartesiani secondo determinate proiezioni. Se sono tutti uguali si dice isometrica. Se due sono uguali fra loro e diversi dal terzo si ha assonometria dimetrica, mentre si dice trimetrica nel caso siano tutti diversi fra loro
Assonometria isometrica  fig. a
Tre segmenti uguali ad 1, presi sui tre assi cartesiani Ox, Oy, Oz, si proiettano in tre segmenti uguali di lunghezza 0.816.Normalmente viene adottato il rapporto pratico: lx : ly : lx = 1 : 1 :1
Per ottenere queste condizioni è sufficiente disporre le proiezioni dei tre assi cioè quello z verticale, quello x ruotata in senso orario di 30° rispetto all'orizzontale e quello y ruotata in senso antiorario di 30°rispetto all'orizzontale. L'assonometria isometrica così ottenuta rappresenta l'oggetto ingrandito di 1,22 volte
Assonometria dimetrica  fig. b                                      
Tre segmenti uguali ad 1, presi sui tre assi cartesiani Ox, Oy, Oz, proiettando nel quadro assometrico tre segmenti rispettivamente di lunghezza 0,942, 0,942 / 2, 0,942. Normalmente viene adottato il rapporto pratico lx : ly : lx = 1 : 1/2 :1
Per ottenere queste condizioni è sufficiente disporre le proiezioni dei tre assi come in figura: quella di z verticale, quella di x ruotata in senso orario di 7° rispetto all'orizzontale e quella di y ruotata in senso antiorario di 42° rispetto all'orizzontale. L'assonometria dimetrica così ottenuta rappresenta l'oggetto ingrandito di 1,06 volte.
Assonometria cavaliera (obliqua) fig. c
Il sistema dell'assonometria cavaliera (obliqua) consiste nel proiettare da distanza infinita sul piano del disegno l'oggetto da rappresentare secondo una direzione inclinata rispetto a detto piano. L'oggetto da proiettare deve essere disposto nello spazio in modo che la terna di assi cartesiani ortogonali Ox, Oy, Oz, ai quali l'oggetto è riferito nello spazio risulti con il piano x z parallelo al piano del disegno. Per ottenere queste condizioni è sufficiente disporre le proiezioni O'x', O'y', O'z' dei tre assi come in figura. Le grandezze assonometriche sugli assi x e z rimangono quindi inalterate risultando il quadro assonometrico parallelo al piano x z. La direzione ed il rapporto di proiezione dell'asse y sono arbitrari. Normalmente tale direzione è inclinata di 45° rispetto all'orizzontale ed il rapporto è: lx : ly : lz = 1 : 1/2 : 1.

fig. afig. bfig. c
PROIEZIONE ASSONOMETRICHE ISOMETRICHE
Per costruire la proiezione isometrica di un cubo, data la proiezione ortogonale, con le facce parallele e perpendicolari al piano di proiezione, per prima cosa si fa ruotare il cubo attorno al suo asse verticale (perpendicolare al piano H) di un angolo di 45°(fig. 6, nella quale per semplicità il cubo è appoggiato sul piano H)
Quindi si fa ruotate il cubo una seconda volta, attorno all'asse orizzontale (perpendicolare al piano V) di un angolo di 35° come indicato in fig.7.
Come si vede dalla figura, gli spigoli del cubo paralleli rispettivamente agli assi x, y, e z nella proiezione ortogonale, ora formano fra di loro un angolo di 120° e la loro lunghezza viene ad essere ridotta, moltiplicandola per il fattore 0,82, rispetto alla vera lunghezza.
Consideriamo la proiezione isometrica così ottenuta si possono desumere le seguenti considerazioni:
a) gli assi x, y, e z sono a 120 fra di loro;
b) per costruire la proiezione isometrica di un oggetto le rette parallele agli assi x, y e z devono essere poste         
    parallele agli assi x', y' e z';
c) la lunghezza dei vari segmenti deve essere ridotta moltiplicandola per 0,82.
Per rendere più semplice la costruzione, s'è visto che questo raccorciamento delle dimensioni non è osservato nell'esecuzione dei disegni: se segna allora parallelamente agli assi la vera lunghezza dei vari segmenti.

        fig.6 fig.7                                                                                                     
L'interno di oggetti cavi rappresentato assonometricamente per mezzo di sezioni
L'oggetto è convenzionalmente tagliato con i piani paralleli ai piani di proiezione fig. 8.
Se l'oggetto possiede assi di simmetria, come un prisma, allora si può tagliare un quarto di prisma per mezzo di due piani. I piani di taglio devono essere scelti in modo da presentare una chiara vista delle sezioni richieste.
 
I cerchi contenuti in piani paralleli ai piani principali di proiezione isometricamente divengono delle ellissi. Si ricorda che l'asse minore di un ellisse deve sempre essere perpendicolare all'asse maggiore.
Se un cerchio è contenuto in un piano parallelo al piano H, come si vede in fig. 9f e 9g, allora l'ellisse avrà l'asse maggiore orizzontale e di conseguenza l'asse minore verticale. Se il cerchio è in un piano parallelo al piano V (fig. 9a, 9b, 9c) l'asse maggiore formerà un angolo di 90° con l'asse y'.
Se il cerchio è contenuto in un piano parallelo al piano W (fig. 9a, 9d, 9e) allora l'asse maggiore forma un angolo di 90° con l'asse x'.
I cerchi possono considerarsi contenuti in quadrati, le cui proiezioni isometriche sono dei rombi; l'asse maggiore dell'ellisse sarà diretto secondo la diagonale maggiore di questi rombi.
Nel costruire le proiezioni isometriche di cerchi si noti che la lunghezza dell'asse maggiore sarà di 1,22 x D, essendo D il diametro del cerchio e l'asse minore eguale a 0,7 x D.

      
fig.8                                                                 fig.9
La proiezione isometrica di una sfera tagliata da diversi piani paralleli ai piani H, V e W
Tracciati gli assi con l'origine delle coordinate coincidente con il centro della sfera, si descrive un cerchi il cui diametro sia uguale a 1,22.D, dove D è il diametro della sfera .
La seconda figura rappresenta una sfera tagliata da quattro piani: due orizzontali, uno verticale ed uno laterale. Le costruzioni sono eseguite nello stesso modo usato per gli esempi precedenti. Le sezioni ottenute con il piano orizzontale superiore sono contornate da segmenti di retta paralleli all'asse. In questo caso ciascuna curva sarà parte di un ellisse o dell'ovale, suo sostituto.

fig.10
ASSONOMETRIE DIMETRICHE
Con le proiezioni ortogonali di un cubo, possiamo costruire sia le proiezioni isometriche che dimetriche utilizzando il metodo della doppia rivoluzione. Per primo si ruota il cubo di 20° attorno all'asse verticale (fig.11a) mentre la seconda rotazione avviene attorno all'asse orizzontale, perpendicolare al piano W, sempre di 20°. La proiezione verticale ottenuta dopo la seconda rotazione sarà la proiezione ortogonale dimetrica (fig.11b).
Gli assi dimetrici sono costruiti nel seguente modo : l'asse z' è verticale, l'asse x' forma un angolo di 7°con l'orizzonte e l'asse y' forma un angolo di 41° con l'orizzonte.
fig.11 fig.12
La fig.12, illustra la variazione che intervengono nell'altezza e nella forma della base di un prisma retto a base rispettivamente esagonale e triangolare, dipendenti dalle posizioni delle loro facce rispetto agli assi dimetrici. Se gli spigoli sono paralleli all'asse x', allora l'altezza non varia mala base si presenta distorta. Con gli spigoli paralleli all'asse y' l'altezza si riduce a metà. Variazione simili avvengono negli altri solidi geometrici rappresentati nella stessa figura.
Le proiezioni dimetriche dei solidi geometrici e di pezzi semplici vengono costruite con l'aiuto delle coordinate di alcuni punti significativi (come ad es. i vertici) con lo stesso procedimento usato per le proiezioni isometriche. Per prima si costruisce la base del solido geometrico (ad es. la base, triangolare od esagonale del prisma di fig.12c). Per semplificare la costruzione si pone la base parallelamente ad uno dei piani di proiezione (o perpendicolare ad uno degli assi). In questo caso alcune coordinate dei punti (vertici) rimarranno invariate o diventeranno eguali a zero. Quindi si costruiscono gli spigoli e le basi del solido.

Le circonferenze dimetricamente sono rappresentate come ellissi costruite con i metodi già visti. In fig.13 si notano le dimensioni delle ellissi (inscritti in rombi, proiezioni  dei quadrati in cui sono inscritte in proiezione ortogonale) rapportate a quelle dei cerchi.

fig.13
Anche nelle proiezioni dimetriche le ellissi sono a volte sostituite da ovali più semplici da costruire. Cioè illustrato in fig.14
Nel costruire le proiezioni dimetriche di solidi geometrici e di elementi di macchine si deve porre l'oggetto in modo che il suo lato maggiore non sia parallelo all'asse y', altrimenti la proiezione verrà fortemente distorta.

  fig.14     
ASSONOMETRIA OBLIQUA (CAVALIERA)
Caratteristica della proiezione cavaliera e che tutte le linee e superfici di un oggetto, che sia parallelo al piano verticale di proiezione, sono proiettate verticalmente con le loro vere dimensioni, cioè non distorte.
Gli assi assonometrici sono disposti come segue: x' è orizzontale, y' forma un angolo di 45° con l'orizzontale e le dimensioni parallele a questo asse sono dimezzate e z' è verticale. Non c'è riduzione di dimensioni lungo gli assi 
x' e z'. 
Si può mettere l'oggetto da rappresentare in diverse posizione rispetto agli assi, ma si comprende come sia preferibile disporlo in modo che le parti piane più complicate, come cerchi, archi di cerchio e simili, giacciano su piani paralleli al piano verticale di proiezione. In questo modo la costruzione viene ad essere semplificata poiché questi elementi sono proiettati con le loro vere dimensioni, analogamente ad una proiezione ortogonale (proiezione frontale).
Fra le posizione occupate dal cilindro di fig.15a e 15c è da preferirsi quest'ultima poiché i cerchi non vengono distorti.

   fig.15 
Le proiezioni frontali dei solidi geometrici sono costruite analogamente alle proiezioni dimetriche.
Costruiamo la proiezione frontale di un cilindro (fig.15a). Per prima si disegna la base che è un'ellisse e quindi gli elementi estremi. Si ricordi che i segmenti retti paralleli agli assi di proiezione mantengono il loro parallelismo anche nei confronti degli assi nelle proiezioni frontali. Per completare il cilindro si disegna la seconda base.
PROSPETTIVE
La rappresentazione prospettica vera e propria, se trova largo impiego nel disegno artistico od architettonico, non è molto usata nel disegno tecnico a carattere meccanico, proprio perché con esso si tende non tanto a rappresentare un oggetto quanto a fornire istruzioni per costruirlo.
Scopo della prospettiva è rappresentare sul piano gli oggetti in modo da dare per quanto possibile la stessa impressione che si avrebbe osservandoli direttamente.
Sostanzialmente si tratta di una proiezione conica, cioè effettuata mediante linee proiettanti uscenti da un unico punto, a differenza delle proiezioni ortogonali ed assonometriche effettuate da linee parallele. fig.16

  fig.16
Naturalmente esistono precise regole per la costruzione di prospettive partendo dalle proiezioni ortogonali, ma come s'è detto, ci limitiamo ad alcune indicazioni di massima.
Osserviamo la fig. 17: in essa è rappresentato un rettangolo visto in pianta. Il punto O rappresenta il punto da qui vogliamo osservare il quadrato, il punto P la proiezione di O su una linea detta orizzonte intersezione di un piano parallelo a quello su cui giace il quadrato (piano di terra) con il piano rappresentazione.

  fig.17
Prospettiva centrale
La proiezione corrispondente alla vista principale in proiezione ortogonale parallela al piano di rappresentazione: le linee uscenti dai vertici di questa proiezione convergono verso un unico punto dell'orizzonte fig. 18a; in altre parole le linee orizzontali e verticali rimangono tale se parallele al piano di rappresentazione.
Se il punto di convergenza è intersezione dell'asse della figura con l'orizzonte si ha un prospettiva frontale fig. 18b.

        

                fig.18 a                                               fig.18 b                                     fig.18 c
Prospettiva accidentale
In essa non si hanno linee parallele all'orizzonte: convergono verso due punti dell'orizzonte (punti di fuga) a seconda se appartengono alla vista principale o alla laterale nel corso di proiezioni ortogonali fig. 18c
OMBRE
Si potrebbe parlare a questo proposito di una semplice applicazione della teoria delle intersezioni: infatti si ha intersezione fra un solido reale, quello di cui vogliamo studiare l'ombra, con un solido ideale costituito da un fascio di raggi di luce, supposti paralleli ed inclinati di 45° rispetto ai tre piani di proiezione ortogonali, con provenienza dalla sinistra del oggetto.
Il contorno definito da questa intersezione delimitata la zona illuminata da quella in ombra.
Si potranno distinguere un'ombra propria dell'oggetto cioè le zone in ombra dell'oggetto stesso, ed un'ombra portata, causata dall'oggetto su piani ad esso vicini.
In proiezione ortogonale la determinazione esatta non presenta difficoltà fig. 19a e fig. 19b
fig.19 b    fig.19 a
Analogamente è possibile giungere a rappresentazione precise in assonometria e prospettiva, ma poiché lo scopo principale del disegno dell'ombra è l'esaltazione dell'oggetto raffigurato, ci si limita ad un ombreggiatura ad intuito.
Ritenendo cioè di avere una sorgente luminosa posta in alto a sinistra dell'oggetto si scuriscono le parti in ombra fig. 19c, senza curarsi eccessivamente dell'esattezza fig. 20a e fig. 20b
                       
                              fig.19 c                            fig.20a                                                 fig.20b