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In un articolo la Taylor riporta
il grafico , che rappresenta la velocità in funzione dell'angolo
rispetto al vento, di una qualsiasi barca a vela (a destra, Fig 1)
Nel grafico il vento viene da nord (dall' alto) e la velocità
massima che la barca a vela può raggiungere dipende dalla direzione
in cui essa ha intenzione di dirigersi: prendiamo in considerazione
un vettore v centrato nell' origine degli assi cartesiani e il punto
di applicazione sulla curva, esso rappresenta la velocità massima
che la barca può raggiungere nella direzione di v.
Per esempio: se il conducente della barca ha intenzione di andare
verso nord la sua velocità sarà nulla in quanto in quella
direzione perché il vettore v avrebbe modulo uguale a 0, se egli
invece decidesse di procedere verso nord-ovest otterrebbe una certa
velocità.
Le regate della Luis Vuitton Cup si svolgono proprio esattamente
così: due boe vengono fissate secondo in modo parallelo alla
direzione del vento, vince il più veloce che riesce a compiere il
percorso da una boa all' altra per tre volte. Il tattico della barca
non deve fare nient' altro che risolvere un semplice problema di
analisi…
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Fig. 1
Grafico
rappresentante la velocità in funzione dell' angolo rispetto al
vento di una qualsiasi barca a vela
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Fig. 2
L'
imbarcazione deve spostarsi nella direzione di a
e il suo conducente deve decidere secondo quale angolo b
orientare la vela.
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Il problema è trovare la traiettoria che
ci permette di spostarci nella direzione opposta del vento nel minor tempo
possibile, la soluzione sta in un percorso a zig-zag, in mare infatti il
percorso più breve tra due punti non è una retta, se invece prendessimo in
considerazione un veicolo a motore la nostra funzione sarebbe una circonferenza
e la traiettoria più breve per spostarci da un punto all' altro sarebbe una
retta.
Proviamo a dare una spiegazione matematica per la nostra funzione. Prendiamo in
considerazione un'imbarcazione ferma e con una vela esattamente piatta il cui
conducente ha intenzione di spostarsi con direzione a rispetto al vento, egli
deve decidere con che angolo b orientare la vela rispetto al vento per ottenere
la massima velocità possibile (a sinistra, Fig 2). La forza che il vento
esercita sulla vela è direttamente proporzionale a senb,
a sua volta la vela esercita una forza sull' albero della barca che ha direzione
perpendicolare alla vela e modulo ancora direttamente proporzionale a senb .
Siccome la barca non si può muovere lateralmente, ma solo in avanti (bisogna
pensarla su una rotaia), bisogna scomporre la forza F e tenerne solo la
componente lungo la direzione a ottenendo una spinta proporzionale a sinbsin(a-b).
A questo punto se conosciamo a per ottenere il valore massimo di b
sarà sufficiente calcolare la derivata della funzione e trovarne il punto di
massimo:b sinbsin(a-b)
= cosbsin(a-b)-sinbcos(a-b)
= sin((a-b)-b)
= sin(a-2b)=0.Il massimo
si avrà dunque per b = a/2,
cosa piuttosto plausibile. Dunque con questo ragionamento si ottiene che la
funzione velocità massima in funzione dell'angolo dovrebbe essere
v(a)=sin2(a/2).
Se proviamo a fare un diagramma di questa funzione otteniamo il grafico
sottostante:
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