PROGETTO DI UN ALBERO DI TRASMISSIONE
(IN ELABORAZIONE)

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Potenza da trasmettere N = 22 CV; materiale per la costruzione acciaio C 40 UNI 5332 con s_R = 70 kg / mm²; calettamento della ruota con chiavetta; numero di giri ruota motrice n₁ = 280 giri / 1'; rapporto di trasmissione t = 2,5 / 1; diametro ruota motrice D₁ = 150 mm; angolo della retta d'azione q = 20°.

CALCOLO

N.B. in altra sede sono stati svolti i calcoli riguardanti la coppia di ruote dentate che hanno portato a questi risultati: t = 2,46 / 1; n₁ = 280 giri / 1'; n₂ = 113,82 giri / 1'; D₁ = 156 mm; D₂ = 384 mm.

1) Trascurando le perdite di potenza per attriti e altre cause(*), supponiamo che la potenza N si trasmetta integralmente dall'albero movente a quello cedente. Troviamo subito i momenti torcenti agenti sui due alberi:
M_t1 = 716.200 N / n₁ = 716.200 x 22 / 280 = 56.270 kg mm
M_t2 = 716.200 N / n₂ = 716.200 x 22 / 113,82 = 138.400 kg mm
Dai momenti si ricavano le forze tangenziali (poiché la trasmissione della potenza avviene attraverso il contatto fra un dente della motrice e uno della mossa, il braccio della forza tangenziale è il raggio della ruota) agenti sulle circonferenze primitive l e l:
F_t1 = M_t1 / R₁ = 56.270 / D₁ / 2 = 56.270 / 156 / 2 = 721 kg
F_t2 = M_t2 / R₂ = 138.400 / D₂ / 2 = 138.400 / 384 / 2 = 721 kg
Il risultato F_t1 = F_t2 = 721 kg è ovvio in quanto l'una non è altro la reazione all'altra sui denti coniugati.
Scomponendo la forza F_t che produce la rotazione è possibile calcolare (per la ruota motrice e il suo albero che è l'unico che ci interessa):
a) la forza radiale F_f da sommare o sottrarre al peso della ruota: F_f = F_t tangq = 721 tang20 = 262 kg
b) la forza F agente sulla retta d'azione: F = F_t / cosq = 721 / cos20 = 767 kg

2) Per quanto riguarda il dimensionamento dell'albero, il suo diametro si ricava facendo alcune considerazioni sulla condizione di resistenza al momento torcente. Indicando con r₁ il raggio dell'albero motore si ha in prima approssimazione:
t = M_t1 r₁ / J_p1 £ t_amm
nella quale J_p1 = p r₁⁴ / 2 è il momento di inerzia polare dell'albero motore. Ponendo come coefficiente di sicurezza m = 10 poiché si tratta di un organo meccanico soggetto a sforzi variabili nel tempo, con urti derivanti dai contatti fra i denti, sarà:
t_amm = (4 / 5) s_amm = (4 / 5) x 7 / 10 = 5,6 kg / mm²
Sostituendo nell'espressione del momento torcente si ottiene:
t_amm = M_t1 r₁ / p r₁⁴ / 2
Semplificando e riordinando si ottiene in successione:
r₁³ = 2 M_t1 / p t_amm                  r₁ = (2 M_t1 / p t_amm)^1/3 = (2 x 56.270 / p x 5,6)^1/3 = 18,6 mm arrotondato 19 mm.
Questi sono valori di prima approssimazione poiché si è tenuto conto solo del momento torcente. Partendo però da queste dimensioni è possibile ottenere un primo valore del peso proprio e quindi è possibile calcolare gli alberi a flessione. Se essi sono in grado di sopportare anche la flessione, il calcolo è terminato, altrimenti occorre rifare i calcoli tenendo conto del momento flettente.

3) Una via più breve consiste nel fare una speciale somma di flessione e torsione che porta a definire il "momento flettente ideale" dal quale si trovano i raggi come se l'albero fosse soggetto alla sola flessione.
Il momento flettente ideale è dato da (usiamo l'espressione generale):
M_fi = 3 / 8 M_f + 5 / 8 (M_f² + M_t²)^1/2 =
nella quale M_f è il momento flettente totale in una sezione dovuto ai diversi carichi (peso proprio, peso della ruota, forza radiale).

4) Prima però esaminiamo se non convenga fare l'albero cavo, asportando il nocciolo poco sollecitato sia dalla torsione che dalla flessione. Dovremo poi verificare che la sezione così ridotta sia in grado di portare le t. Il vantaggio di una tale operazione consiste nel fatto che diminuendo i pesi diminuisce l'energia necessaria per mettere in movimento l'albero.
Supponiamo che il risultato ottenuto con il solo momento torcente sia corretto e quindi d₁ = 2 r₁ = 2 x 19 = 38 mm
Si usa porre d_i = (0,4 ÷ 0,6) d_e lasciando uno spessore di parete s = (d_e - d_i) / 2
Nel nostro caso poniamo:
d_i = 0,5 d_e = 0,5 x 38 = 19 mm          e quindi          s = (d_e - d_i) / 2 = (38 - 19) / 2 = 9,5 mm



Calcoliamo il peso(**) dell'albero pieno e cavo:
G_p = g p d₁² / 4 = 0,000007860 x p x 38² / 4 = 0,0089 kg / mm
G_v = g p (d₁² - d₁²) / 4 = 0,000007860 x p x (38² - 19²) / 4 = 0,0067 kg / mm
Il risparmio di peso che si ottiene vale:
dG = G_p - G_v = 0,0089 - 0,0067 = 0,0022 kg / mm oppure in percentuale dG = (G_p - G_v) / G_p = (0,0089 - 0,0067) / 0,0089 = 25 %

5) Come si vede facendo il foro secondo il criterio esposto si risparmia il 25 % di peso di materiale. A questa buona opportunità si oppone però quanto segue:
a) il lavoro di foratura che fa crescere il costo di produzione dell'albero;
b) la necessità di creare la cava per la chiavetta(***) di collegamento, per cui lo spessore della corona dovrà essere aumentata per reintegrare la sezione resistente;
Vediamo se la sezione così ridotta è in grado di sopportare la torsione. Il momento di inerzia polare ora diventa:
J_p1 = p r_e⁴ / 2 - p r_i⁴ / 2 = (p / 2) (r_e⁴ - r_i⁴) = (p / 2) (19⁴ - 9,5⁴) = 191.800 mm⁴
per cui si avrà:
t = M_t1 r₁ / J_p1 = 56.270 / 191.800 = 0,29 kg / mm² < t_amm = 5,6 kg / mm²
Come si vede poiché t è minore di t_amm la sezione con il "buco" non è sufficiente: occorre aumentare il diametro esterno. Non lo facciamo perché il calcolo fatto sin'ora è di prima approssimazione.

6) La seconda approssimazione la eseguiremo tenendo conto del momento flettente ideale. Calcoliamo il momento flettente totale tenendo conto di tutti i carichi:
a) Peso proprio dell'albero: supponiamo che sia lungo L = 300 mm e abbia diametro (pieno!) d₁ = 40 mm.
Sarà quindi q = g p d₁² / 4 = 7.860 x p x 0,040² / 4 = 9,87 kg / m
Peso della ruota dentata: G₂ = g p D₁² s / 4 = 0,000007860 x p x 156² x 120 / 4 = 18 kg
Al peso delle ruote aggiungiamo il valore della forza radiale F_f = 262 kg poiché anch'essa agisce in mezzeria(****).
Le reazioni sugli appoggi sono:
V_A = V_B = q L / 2 + G₂ / 2 + F_f / 2 = 9,87 x 0, 300 / 2 + 18 / 2 + 262 / 2 = 141,5 kg
Se avessimo trascurato il peso proprio avremmo avuto 140 kg, con un errore trascurabile. Per non sovraccaricarci di calcoli lo trascuriamo del tutto.
Il momento flettente nella sezione più sollecitata, la mezzeria, vale quindi:
M_f = V_A L / 2 - q L² / 8 = 140 x 300 / 2 - 9,87 x 0,300² / 8 = 21.000 kg mm
anche in questo calcolo l'influenza del peso proprio è risultato del tutto trascurabile.

7) Il momento flettente ideale vale, riprendendo l'espressione scritta al punto 3):
M_fi = 3 / 8 M_f + 5 / 8 (M_f² + M_t²)^1/2 = (3 / 8) x 21.000 + (5 / 8) x (21.000² + 56.270²)^1/2 = 45.400 kg mm
Per la condizione di resistenza deve essere:
s = M y / J = M_fi r / p r₁⁴ / 4 = M_fi 4 / p r₁³ £ s_amm
r₁ = (4 M_fi / p s_amm)^1/3 = (4 x 45.400 / p x 7)^1/3 = 20,2 mm
e quindi il diametro dell'albero (pieno) in mezzeria vale:
d₁ = 2 r₁ = 2 x 20,2 = 40,4 mm arrotondato 41 mm

8) Riprendiamo la formula di progetto riscrivendola in questo modo:
s = M_fi y / J = M_fi / w £ s_amm
nella quale w prende il nome di modulo di resistenza a flessione. Per le sezioni circolari risulta w = p r⁴ / 4 r = p r³ / 4 e quindi nel nostro caso:
w = p r³ / 4 = M_fi / s_amm
Se la sezione è circolare cava l'espressione diventa:
w = p (r_e⁴ - r_i⁴) / 4 r_e = M_fi / s_amm
Ponendo r_i = 0,5 r_e sostituendo e riordinando si ottiene in successione:
w = p [r_e⁴ - (0,5 r_e)⁴] / 4 r_e = p [r_e⁴ - 0,0625 r_e⁴] / 4 r_e = 0,9375 p r_e³ / 4 = M_fi / s_amm = 45.400 / 7
Dalla quale si ricava:
r_e = (45.400 x 4 / p x 7 x 0,9375)^1/3 = 20,7 mm
e quindi il diametro dell'albero (cavo) in mezzeria vale:
d₁ = 2 r_e = 2 x 20,7 = 41,4 mm arrotondato 42 mm
d_i = 0,5 d₁ = 0,5 x 42 = 21 mm
Spessore di parete s = (d₁ - d_i) / 2 = (42 - 21) / 2 = 10,5 mm
Facendo l'albero cavo si risparmia il peso:
Calcoliamo il peso dell'albero pieno e il peso asportato con la cava:
G_p = g p d₁² / 4 = 0,000007860 x p x 41² / 4 = 0,0104 kg / mm
G_a = g p d_i²) / 4 = 0,000007860 x p x 21²) / 4 = 0,0027 kg / mm
L'albero cavo quindi pesa:
G_v = G_p - G_a = 0,0104 - 0,0027 = 0,0077 kg / mm
Il risparmio di peso in percentuale che si ottiene vale:
dG = (G_p - G_v) / G_p = (0,0104 - 0,0077) / 0,0104 = 0,26 = 26 %
pur mantenendo la necessaria resistenza al momento flettente ideale(*****).
Il momento di inerzia è diventato:
J = p d⁴ / 64 = p (d₁⁴ - d_i⁴) / 64 = p (42⁴ - 21⁴) / 64 = 143.000 mm⁴
Assumiamo per ora che l'albero è cavo con i diametri esterno ed interno già calcolati.

9) Calcoliamo ora le frecce statiche dovute ai carichi, in modo da verificare l'albero rispetto alla velocità critica. Terremo conto solo del peso della ruota dentata: G₂ = 18 kg e della forza radiale F_f = 262 kg agenti in mezzeria e quindi secondo le formule già scritte (vedi parte prima formula 3) si ottiene:
f = f ' + f '' = (8 / 384) (G₂ l³ / E J) + (8 / 384) (F_f l³ / E J) =
= (8 / 384) (18 x 300³ / 21.000 x 143.000) + (8 / 384) (262 x 300³ / 21.000 x 143.000) =
= 0,00337 + 0,04908 = 0,0524 mm
La velocità critica vale:
n_c = 1.000 / (S f)^1/2 = 1.000 / (0,00337 + 0,04908)^1/2 = 4.370 giri / 1 '
Imponendo che n₁ £ n_c / 4 = 4.370 / 4 = 1.090 giri / 1 ', essendo n₁ = 280 giri / 1 ', concludiamo che l'albero è verificato anche rispetto alla velocità critica(******).

10) Per poter effettuare il foro su tutta la lunghezza conviene che l'albero sia cilindrico anche in corrispondenza degli appoggi dove il diametro, per altre ragioni, potrebbe essere ridotto.


(*) Il processo non dipende dai "numeri" adoperati: conoscendo le perdite di potenza N' basta rifare i calcoli per una potenza N + N'.
(**) Il peso specifico dell'acciaio è g = 7.860 kg / m³ = 0,000007860 kg / mm³ poiché in 1 m³ ci sono 1.000.000.000 = 10⁹ mm³.
(***) Per la chiavetta vedi Progetto di albero motore al punto 5).
(****) Occorre fare molta attenzione su questo punto: a seconda della disposizione spaziale delle ruote coniugate la forza F_f si può sottrarre o sommare oppure può produrre flessione deviata. Se le ruote sono una sull'altra, in quella superiore F_f agisce in verso contrario ai pesi, in quella inferiore agisce in accordo con i pesi. Se le ruote sono affiancate F_f produce una freccia orizzontale, cioè in direzione perpendicolare a quella prodotta dai pesi.
Volendo in ogni caso il massimo di rigidità conviene sempre sommare F_f ai pesi: l'albero sarà però più pesante del dovuto.
(*****) E' interessante notare che aumentando di 1 mm il diametro esterno si può eliminare un cilindro interno di 21 mm di diametro. Per chiarire calcoliamo quanto peso si aggiunge aumentando il diametro esterno di 1 mm:
dG = g (p / 4) (d_e² - d_{e '}²) = g (p / 4) (42² - 41²) = 0,00051 kg / mm
mentre il peso del nocciolo è G_a = 0,0027 kg / mm cioè ben 5 volte di più. L'aumento del momento di inerzia è invece:
dJ = (p / 64) (d_e⁴ - d_{e '}⁴) = (p / 64) (42⁴ - 41⁴) = 14.000 mm⁴
mentre il momento di inerzia del nocciolo vale
J = (p / 64) d_i⁴ = (p / 64) 21⁴ = 9.500 mm⁴
Concludendo: si toglie un bel pò di peso (da 0,0027 kg / mm a 0,00051 kg / mm) e il momento di inerzia aumenta (da 9.500 mm⁴ a 14.000 mm⁴).
(******) Se la verifica non fosse riuscita, cioè se fosse stato n₁ > 0,25 n_c, invece di ricominciare il calcolo, magari per tentativi, si sarebbe proceduto in questo modo:
considerato che la freccia totale f è troppo grande la si può ridurre imponendo che 1.000 / (S f)^1/2 = 4 n₁;
sostituendo i valori in questa espressione l'incognita è J e quindi r_e; risolvendo l'equazione si trova quale raggio deve avere l'albero affinché la sua freccia statica non faccia superare il valore desiderato di n_c.