Indice

2.1 Introduzione
2.2 Risultati sperimentali
2.3 Modello a molla singola
2.4 Modello Energy-balance
2.5 Modello spring-mass
2.6 Smorzamento nella zona di contatto
2.7 Smorzamento interno
2.8 Legge allo scarico
2.9 Diminuzione della rigidezza del laminato
2.10 Modello analitico finale

2.5 Modello spring-mass

Tale modello [Shivakumar et al., 1985] trae sostanzialmente origine dal modello energy-balance: i vantaggi rispetto a quest'ultimo risiedono nel fatto che mentre con il modello energy-balance potevamo ricavare solamente il valore massimo della forza di contatto P, della deflessione della piastra w e del raggio di impatto ac. Ora potremo invece conoscere l'andamento nel tempo di tali grandezze unitamente alla storia della velocità di impattatore e provino e all'andamento dello schiacciamento subito dalla lastra nella zona di contatto. Tutto ciò nella condizione in cui si rimanga in campo elastico. Lo schema di tale modello può così essere rappresentato:

Figura II.7. Modello Spring-mass.

L'equazione di equilibrio di tale sistema risulta essere dato dal seguente sistema di equazioni differenziali:

dove: l=1 per x1>x2 oppure l=-1 per x1<x2 ;

con:

mi = massa dell'impattatore;
mp = 1/4 della massa effettiva della piastra. Da studi sulle vibrazioni libere di piastre con masse concentrate solidali nel centro, risulta che solo un quarto della massa della piastra partecipa ad effetti inerziali.
x1(t) = spostamento della massa mi;
x2(t) = spostamento della massa mp, pari alla deflessione della piastra w(t);

Le rigidezze hanno lo stesso significato indicato per il modello energy-balance.
Le condizioni iniziali per piastra ed impattatore sono:

La differenza x1(t)-x2(t)=a(t) rappresenta la deformazione di contatto (indentazione) che si determina durante il contatto tra impattatore e piastra. Durante l'impatto si assume che la massa dell'impattatore e quella della piastra rimangano sempre a contatto tra loro.
La risoluzione di tale sistema di equazioni differenziali ci permetterà di ricavare l'andamento nel tempo della forza di contatto P, della deflessione della piastra w, del raggio di impatto ac, della velocità di impattatore e provino ed, infine, dell'andamento dello schiacciamento subito dalla lastra nella zona di contatto.
Dall'analisi della Figura II.7 si osserva un andamento oscillatorio privo di smorzamento del diagramma Forza-Spostamento ottenuto con tale modello. Inoltre esso non è, come i modelli che lo hanno preceduto, in grado di mettere in evidenza alcun tipo di danneggiamento all'interno del materiale.

Figura II.8. Diagramma Forza-Spostamento del modello Molla-Massa.

2.6 Smorzamento durante la fase di contatto

Da un confronto tra le risultanze del modello molla-massa di Shivakumar e i risultati sperimentali, analizzando il diagramma forza-spostamento (P-x1), si evince subito come tale modello non riesca a riprodurre l'andamento smorzato reale, presentando invece un andamento puramente oscillatorio. Lo smorzamento verificatosi nel provino sarà dovuto in parte allo smorzamento strutturale del provino ed in parte dallo smorzamento insito nella zona di contatto.
Si è partiti riprendendo il lavoro svolto da Mahfuz et al.[1995], i quali hanno ascritto sostanzialmente tale comportamento ad una dissipazione di tipo viscoso insita nella zona di contatto. Infatti analizzando il diagramma forza-spostamento di una prova di indentazione, si nota come esso si presenti come un loop non lineare. Questo è dovuto alla combinazione di una forza viscosa unita ad una forza resistente. Questi ricercatori, partiti da uno studio di Hunt e Crossley [1975], esprimono la forza viscosa come:

Dove d rappresenta lo spostamento del corpo in esame e la sua derivata prima ne rappresenta la velocità, mentre la costante viscosa C può essere espressa da una espressione analitica simile all'espressione hertziana della forza di contatto:

Dove a è un coefficiente dipendente dal coefficiente di restituzione. Questi può essere ricavato da una semplice prova di rimbalzo. Supponiamo infatti di avere un corpo infinitamente rigido e indeformabile di massa m che impatta, con una velocità vi, un piano infinitamente esteso. Dopo il contatto tra i corpi la massa m si ridistacca dal piano con una certa velocità vo, naturalmente rivolta verso l'alto, inferiore a quella con lo aveva impattato. Questo è lo schema:

Figura II.9. Schema di rimbalzo.

Dalla classica definizione di coefficiente di restituzione e otteniamo:

Dove e sarebbe pari all'unità se l'impatto fosse perfettamente elastico reversibile, mentre in realtà sarà ad essa inferiore in quanto benché la maggior parte dell'energia di deformazione elastica venga restituita, una parte di questa viene dissipata in calore (vibrazioni molecolari casuali) mentre un'altra parte si dissipa a causa di microscopici scorrimenti tra grani cristallini. Per un ridotto range di basse velocità d'impatto vi e per un materiale con una caratteristica elastica lineare possiamo scrivere:

Da ciò si potrà ottenere:

La variazione di energia cinetica subita dal corpo in movimento risulta essere:

ove introducendovi le espressioni [II.38] e [II.39] si ottiene:

In prima approssimazione, essendo a molto minore dell'unità, possiamo scrivere, con accettabile accuratezza:

Supponiamo ora di avere un impatto elastico nonlineare (e=1) tra un corpo di massa m che impatta, con velocità vi, su un piano.
Si suppone dunque che la forza di contatto F abbia la classica forma hertziana:

L'energia cinetica d'impatto sarà pari a:

Da questo si ottiene:

Viceversa per una posizione intermedia x, compresa fra 0 e xm, si avrà:

Supponiamo ora che tale urto avvenga con una certa isteresi:

Figura II.10. Variazione del ciclo di isteresi in funzione del parametro a.

L'area racchiusa da tale curva risulta essere correlata con DE, per cui combinando le equazioni precedenti avremo:

Al termine viscoso la forma:

la quale soddisfa le condizioni a contorno che si verificano nel ciclo di Figura II.10:

e, assumendo q=1 e p=n, si ottiene:

dove il simbolo di integrale chiuso indica che tale integrale si estende a tutto il loop. Essa sarà così uguale a:

Il successivo passo sarà ora quello di sostituire al coefficiente di smorzamento viscoso C la sua espressione effettiva:

il che ci permette di ottenere:

Da questa espressione si arriva alla conclusione che:

Viceversa se avessimo posto q=2 saremmo arrivati alla conclusione che:

Sperimentalmente il valore di a è ricavabile posizionando una barretta di materiale, opportunamente bloccata, su un piano d'acciaio ed effettuando una serie di semplici prova di rimbalzo a bassa velocità per non indurre danneggiamenti in seno al materiale.
I risultati ottenuti con il nuovo modello, dove l'effetto di smorzamento nella zona di contatto viene schematizzato con uno smorzatore viscoso non lineare, potranno essere felicemente confrontati con i risultati sperimentali ottenuti nel caso di un provino che non abbia subito danneggiamenti rilevanti.

Figura II.11. Diagramma Forza-Spostamento del modello Energy-balance con smorzamento nella zona di contatto.

Confrontando le diverse combinazioni, dall'analisi del diagramma P-w ottenuto si vede come l'andamento oscillatorio della piastra si smorzi ben presto, perfettamente in accordo con quanto misurato nell'analisi sperimentale. Il limite principale di tale modello rimane sempre quello di trascurare tutti gli effetti dissipativi come i fenomeni vibratori strutturali e le deformazioni permanenti della zona impattata e dell'impattatore, presumendo altresì un comportamento elastico sia del provino che dell'impattatore senza inoltre mettere in gioco né le rotture di fibre o della matrice né tantomeno le delaminazioni tra gli strati.

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