Indice

2.1 Introduzione
2.2 Risultati sperimentali
2.3 Modello a molla singola
2.4 Modello Energy-balance
2.5 Modello spring-mass
2.6 Smorzamento nella zona di contatto
2.7 Smorzamento interno
2.8 Legge allo scarico
2.9 Diminuzione della rigidezza del laminato
2.10 Modello analitico finale

Ogni materiale da costruzione viene sollecitato ciclicamente, questo dissipa una certa quantità di energia internamente ad esso. Risultati sperimentali ottenuti da diversi ricercatori [Lazan B.J., 1968], indicano che per molti materiali strutturali l'energia dissipata in ogni ciclo risulta essere indipendente dalla frequenza e proporzionale al quadrato dell'ampiezza di deformazione. In tal modo si spiega come la forma del ciclo di isteresi rimanga pressoché invariata con l'ampiezza di vibrazione ed indipendente dalla velocità di deformazione.
Per quanto riguarda lo smorzamento strutturale subito dal materiale, questo risulta essere diverso a seconda della sua natura dello stesso. Stante la natura diversa delle forze smorzanti, che renderebbero l'equazione differenziale del sistema praticamente irrisolvibile, si introduce una smorzamento viscoso equivalente. Questo consentirà di ottenere un'equazione differenziale trattabile in maniera elementare.
L'andamento dell'ampiezza di oscillazione x di un sistema smorzato viscoso, può essere dato dall'espressione:

dove:

Figura II.12. Comportamento tipico di un sistema smorzato.

Per meglio misurare lo smorzamento presente in un sistema possiamo introdurre il decremento logaritmico d, il quale consente di misurare la rapidità con con cui un'oscillazione smorzata si attenua. Questo viene definito come il logaritmo naturale del rapporto fra due successive ampiezze di periodo td:

Perciò essendo:

Dove:

m = massa del corpo;
k = rigidezza;
C = smorzamento reale;
Cc = smorzamento equivalente;

Da queste espressioni, introdotte nella [II.60] si può dimostrare come per smorzamenti viscosi si abbia:

L'energia dissipata Wd dallo smorzamento strutturale del materiale [Thomson W.T., 1993] durante un mezzo ciclo può essere scritta come:

dove:

a = costante di smorzamento (l'unità di misura ha la forma forza/spostamento);
X = ampiezza di vibrazione.

Introducendo ora lo smorzamento viscoso equivalente Ceq, possiamo porre come l'energia dissipata Wd alla frequenza w sia pari a:

da cui si ha:

Si può notare come per piccoli smorzamenti si abbia come il rapporto tra l'energia dissipata per ciclo Wd e il massimo dell'energia potenziale sia pari a 2d.
In questo modo l'equazione differenziale del moto di un sistema con smorzamento viscoso strutturale può essere scritto come:

Come ulteriore e successivo sviluppo può risultare interessante mettere in evidenza l'andamento di tale coefficiente al variare dell'entità del danneggiamento. In particolare l'insorgere delle delaminazioni fanno si che nasca un'ulteriore effetto smorzante dovuto all'attrito tra le facce del laminato che si portano in moto relativo fra loro. Tale effetto risulterà essere strettamente dipendente, secondo un'opportuna legge funzionale, all'estensione di tale zona delaminata.

Dall'analisi di prove sperimentali si evince come il grafico forza-spostamento sia aperto: l'area da esso racchiusa rappresenta l'energia dissipata durante l'impatto. Le cause di tale dissipazione abbiamo visto essere molteplici. Scindendo tra loro tali motivazioni possiamo vedere come la prima causa che genera una degradazione delle caratteristiche del materiale risulti essere la rottura superficiale delle fibre unita ad una deformazione plastica localizzata nella zona d'impatto. Quest'ultimo aspetto è già osservabile per piccoli valori di carico, mentre la rottura di fibre si ha solo per valori di carico molto più alti. Oltretutto per il PEEK, al contrario della resina epossidica, l'effetto plastico è predominante: addirittura per carichi dell'ordine di 10000 N non si è avuta traccia di rottura di fibre. Questo ha portato alcuni ricercatori [Sun et al.,1982; Tan et al., 1985], sulla base di quanto proposto da Crook [1957], a proporre allo scarico una legge diversa da quella di Hertz, ritenuta valida e utilizzata nella fase di carico, che rappresenti l'andamento della forza di contatto. La relazione è stata ricavata attraverso un processo di fitting, effettuato su una serie di dati provenienti da prove sperimentali effettuate su provini, con diverso spessore ed orientazione degli strati, e con indentatori emisferici di diametro diverso Questa ha la seguente forma:

Dove:

Il valore di q, per spessori fino a 12.7 mm, è posto pari a 2.5.
Con S si è indicata la rigidezza allo scarico, che vale:

I valori che essa assume sono:

se am>acr                                                    

viceversa se am<acr                                                

dove Sp=0.094.

Il valore critico di indentazione si ricava attraverso il rapporto tra le rigidezze in fase di carico e scarico:

L'indentazione permanente può, invece, essere determinata attraverso le espressioni seguenti:

se am<acr                                                                    

viceversa se am>acr                                     

dove acr rappresenta l'indentazione critica, la quale può, approssimativamente, essere presa pari a 0.080264 mm (0.00316 inches) per un composito fibra di carbonio-resina epossidica.

Figura II.13. Diagramma Forza-Spostamento introducendo la legge di Sun allo scarico.

Il limite principale di tale legge è insita nel fatto che essa presenta un'origine sperimentale che deve essere, di volta in volta, adattata al nuovo materiale in esame. Nel caso reale tale fase, in mancanza di danneggiamento, si può esprimere come uno scarico elastico. Perciò possiamo evitare di utilizzare la legge di Sun e, tramite un'analisi agli elementi finiti, possiamo ricavare tale fase di scarico come fase elastica ottenuta facendo traslare la fase di carico elastico a partire dal termine della fase di carico.

2.9 Diminuzione della rigidezza del laminato

Sperimentalmente si vede come il danneggiamento interno del materiale produca, al crescere del carico, una diminuzione della rigidezza del laminato. Questi effetti sono da ascrivere a:

In questo modo si può tener conto di questo nel modello fornendo a Kft, la rigidezza di flessione e taglio, un andamento funzionale rispetto, ad esempio, al crescere del carico. Per la determinazione di tale andamento è utile ricorrere alla tecnica degli elementi finiti, attraverso cui è possibile visualizzare la nascita e l'estendersi dei diversi tipi di danneggiamento (rottura di fibra e matrice), permettendo così di risalire alla curva di carico forza-deflessione del provino, da cui è poi possibile ricavare l'andamento della rigidezza.

In ragione di quanto visto nei precedenti paragrafi il modello di Shivakumar può così essere modificato tenendo conto di tutti questi fenomeni.
Lo smorzamento nella zona di contatto può essere schematizzato attraverso uno smorzatore viscoso posto in serie alla molla che rappresenta la rigidezza di contatto. Per tener conto della nuova legge di scarico, alla molla suddetta viene data una legge differente da ciò che si ha durante il carico.
Viceversa, per quanto riguarda gli effetti di danneggiamento che si esplicano all'interno del materiale, alla molla di rigidezza flessionale e di taglio viene dato un andamento funzionale al variare della forza di contatto tra impattatore e provino. La molla che simula l'effetto membranale rimane viceversa invariata. Infine, lo smorzamento proprio del laminato viene considerato come uno smorzamento viscoso equivalente: per simulare questo viene così aggiunto uno smorzatore viscoso in parallelo alle due molle suddescritte.
Lo schema si modificherà così:

Figura II.14. Schema del modello finale.

Applicando l'equazione di equilibrio alle due masse otteniamo il seguente sistema di equazioni differenziali non lineari:

dove: l=1 per x1>x2 oppure l=-1 per x1<x2 ;

Le condizioni iniziali per piastra ed impattatore sono:

Per la risoluzione di tale sistema di equazioni differenziali non lineari nel tempo è stato costruito un modello di simulazione attraverso il software SIMULINK, un toolbox del pacchetto di MATLAB, utilizzato, questo, anche per la risoluzione del sistema di equazioni differenziali del modello Spring-Mass di Shivakumar.

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